$f(x,y,z)$ を全微分可能な函数とし、 $x$ と $y$ だけ $t$ に依存しているとする。つまり、 $x = x(s,t,u,\cdots)$, $y = y(s,t,u,\cdots)$, $z = z(s,u,v,\cdots)$ のような状況を考える。
$\Delta x = x(t+\Delta t) - x(t)$ と書くことにすると
\begin{align}
\frac{\del}{\del t} f(x,y,z) &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t),z) - f(x(t),y(t),z)}{\Delta t} \\
& = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(x + \Delta x,y + \Delta y,z) - f(x,y,z)}{\Delta t} \\
& = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\frac{\del f}{\del x}\Delta x + \frac{\del f}{\del y}\Delta y + o(\Delta x, \Delta y)}{\Delta t} \\
& = \lim_{\Delta t \to 0} \left(\frac{\del f}{\del x}\frac{\Delta x}{\Delta t} + \frac{\del f}{\del y}\frac{\Delta y}{\Delta t} + \frac{o\left(\frac{\del x}{\del t}\Delta t, \frac{\del y}{\del t}\Delta t\right)}{\Delta t} \right) \\
&= \frac{\del f}{\del x}\frac{\del x}{\del t} + \frac{\del f}{\del y}\frac{\del y}{\del t}
\end{align}
という雑な計算をしてみる。雑なりに平均値の定理とかで書いたほうがもう少し綺麗なはず・・・。
やたら沢山の変数が絡んでいる時の連鎖律の計算ってどんなんだっけ？と思った時の思い出し用・・・。
