Theorem (有限 $K$-代数の構造定理) $K$: 体, $A$: $K$-代数。 $\dim_K A (1)$A$ の極大イデアルは高々有限個である。($m_1,\cdots, m_r$) (2)$J := m_1 \cap \cdots \cap m_r = \prod m_j$ とする時、ある $n \in \N$ に対して $J^n = 0$ である。 (3)$A \s…

Lemma $A$: 環。 $m_1, m_2 \subset A$ を異なる極大イデアルとする。この時、 $m_1$ と $m_2$ は互いに素である。 proof $ 1 \not\in m_1 + m_2$ とする。ところが、 $m_1 + m_2$ はイデアルであり、 $m_1 \subset m_1 + m_2 \subsetneq A$ であるので、$m_…

Lemma $R$: 環。 $M $: $R$-自由加群とし、その基底の濃度を有限とする。この時、$\varphi \in \mathrm{Hom}_R(M,M)$ は単射であれば全射となり、従って(自己)同型写像になる。 proof $\{e_j\}_{1 \leq j \leq n}$ を $M $ の基底とする。 $\{ \varphi(e_j) …

日本の大学の数学の授業だと定理→証明→定理→証明→定理→証明→定理→証明→定理→証明→... という感じかなぁというところで、「これが物理学だ！」とかどっかの白熱教室とか、海外ドラマみたいに海外では非常にアクティブな雰囲気な授業(超絶イメージ)なのかな？…

$A$ を環として、 $I \subset A$ をイデアルとする時、 $B = A/I$ という $A$-代数を考えられるけど、 $M $ の係数環を $A$ から $B = A/I$ にbase changeした時にどういう構造になるんでしょうかね？というのが以下の命題。 係数を $I$ で割ることは、自分 …