stem fields間の準同型写像について考える。
体 $K$ 上の $d$ 次の既約多項式 $P$ が根 $\alpha,\beta$ を持つとして、 $\beta \not\in K[\alpha]$ と仮定する。 $K$-準同型写像 $\varphi:K[\alpha] \to K[\beta]$ としてはどういうものが考えられるか？
まず、 $0 \neq \varphi$ は単射である。 $\varphi(x) = 0,\ x \in K[\alpha]$ とする時、 $x \neq 0$ とすると、 $\exists!\, x^{-1} \in K[\alpha]$ がとれるので、 $\varphi(1) = \varphi(x x^{-1}) = \varphi(x) \varphi(x^{-1}) = 0$ となる。よって任意の $y \in K[\alpha]$ に対し、 $\varphi(y) = \varphi(y)\varphi(1) = 0$ となるので、 $\varphi = 0$ となるがこれは不合理である。よって $x = 0$ となるので単射である。
次に、 $K$-準同型写像 であるので定義により $\varphi(1) = 1$ である。よって、 $x \neq 0$ に対し、 $\varphi(x^{-1}) = \varphi(x)^{-1}$ である。
$x \in K[\alpha],\ f \in K[X]$ に対し、$f(\varphi(x)) = \varphi(f(x))$ である。よって特に $x = \alpha,\ f = P$ の時、 $P(\varphi(\alpha)) = \varphi(P(\alpha)) = \varphi(0) = 0$ となり、 $\varphi(\alpha)$ も $P$ の根であることが分かる。 $K[\beta]$ の中ではそのような元は典型的には $\beta$ である。(他の根 $\beta^\prime \in K[\beta]$ も存在するかもしれないが。)
$\varphi(\alpha) = \beta$ とする。 $x \in K[\alpha]$ は $x = \sum_{j = 0}^{d-1}a_j \alpha^j,\ a_j \in K$ と書けるので、 $\varphi(x) = \sum_{j = 0}^{d-1}a_j \beta^j$ となる。一方で $K[\beta]$ の元は右辺のような表示を持つので、 $\varphi$ は全射であることが分かる。
以上より $0 \neq \varphi$ の時、 $\varphi:K[\alpha] \overset{\sim}{\to} K[\beta]$ は $K$-代数としての同型写像となる。(他の根 $\beta^\prime \in K[\beta]$ があったとして、 $\varphi(\alpha) = \beta^\prime$ とした場合でも、後で $\beta^\prime \mapsto \beta$ となる準同型写像と合成することで結局 $K[\alpha] \overset{\sim}{\to} K[\beta]$ となる。)
或は、 $K[X]/(P) \overset{\sim}{\to} K[\alpha]$ という形で、“交差点” に $K[X]/(P)$ を置いて1つのstem fieldから他のstem fieldに歩いて行っても良いが、ともかくstem field間には同型写像が構築されるので、同型を除いて一意にstem fieldが定まるということで、いちいち具体的な根 $\alpha$ を
持ち出して、「$\alpha$ についての stem field」みたいな言い方はしなくても良いことになる。
さて次に $K \subset L$ とし、$\varphi:K[\alpha] \to L$ なる準同型写像としてはどういうものが考えられるか見てみたい。$P$ の $L$ に含まれる根を $\alpha_1,\cdots,\alpha_\ell \in L$ とする。
既に見たように $\varphi(\alpha)$ は $P$ の根であるので、ある $t \in \{1,\cdots,\ell\}$ に対し、 $\varphi(\alpha) = \alpha_t$ となり、また $\varphi:K[\alpha] \overset{\sim}{\to} K[\alpha_t] \subset L$ となる。
具体例を見てみよう。$\Q \subset \R$ とし、$\Q[X]$ の既約多項式を $P(X) = X^3 - 2$ とする。この時、 $L = \R$ の範囲での根は $\sqrt[3]{2}$ のみであるので、 $P$ のどのような stem field $\Q[\alpha],\ P(\alpha) = 0$ をとろうとも、$0 \neq \varphi: \Q[\alpha] \to \R$ なる $\Q$-準同型写像としては、 $\varphi(\alpha) = \sqrt[3]{2}$ となるただ1つの準同型写像しかあり得ないことになる。
$L = \C$ とする場合には、根は3つ存在するので($\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\,\omega,\sqrt[3]{2}\,\omega^2$)、0でない準同型写像としては、恒等写像を含め根を自身或は別の根にうつすような3つの準同型写像を考えることができる。
