き、キターーー(゜∀゜)ーーーー!!!!!完全体。といっても、クリーチャー→ゴリラ→イケメンではないのだが...。
例
0)標数0の体は完全である。
飽きたらやめようGalois理論(19)―分離的 - らんだむな記憶より、すべての既約多項式は分離的であるので以下の定理により完全となる。
1)有限体は完全である。
飽きたらやめようGalois理論(8)―stem fieldの一意性 - らんだむな記憶と同様に、体上の準同型写像は単射である。
$K = \{x_1,\cdots,x_n\}$ とする時、$\{F(x_1),\cdots,F(x_n)\} \subset K$ であるが、 $\{F(x_1),\cdots,F(x_n)\}$ は相異なる元からなるので、その濃度は $n$ である。よって $\{F(x_1),\cdots,F(x_n)\} = K$ となる。
2)代数閉体 $K$ は完全である。
$X^p - a$ は任意の $a$ に対して根 $\alpha$ を $K$ 内に持つ。この時、 $F(\alpha) = \alpha^p = a$ である。
3)$K = \mathbb{F}_p(X) = \{f(X)/g(X); f,g \in \mathbb{F}_p[X],\ g \neq 0\}$ は完全ではない。
$\mathrm{Im}(F) = \mathbb{F}_p(X^p) \neq \mathbb{F}_p(X)$ である。
Theorem
$K$ が完全体 $\iff$ $K$ 上の既約多項式が分離的 $\iff$ $K$ 上のすべての代数拡大が分離的${}_\square$
Theorem
$\mathbb{F}_p \subset K \subset L$: 代数拡大とする。この時、 $L/K$ は分離拡大である。
proof
$\mathbb{F}_p$ は有限体であるので、完全体である。従って $L/\mathbb{F}_p$ は分離拡大である。よって飽きたらやめようGalois理論(20)―分離性の同値条件 - らんだむな記憶の定理より $L/K$ も分離拡大である${}_\blacksquare$
