stem field... 手持ちの本で言うと「根体」か？
定義
$P \in K[X]$ を既約とする。この時、$K$ の拡大 $E$ が $P$ についての stem field であるとは、
\begin{equation}
\exists \alpha \in E \ \text{s.t.}\ P(\alpha) = 0 \quad\text{and}\quad E = K[\alpha]
\end{equation}
の時を言う。
$\alpha \in E$ を $P$ の根とする時、以下の対応で stem field はただ1つに定まる。(飽きたらやめようGalois理論(8)―stem fieldの一意性 - らんだむな記憶でもごにょごにょと)
\begin{array}{cccc}
&K[X]/(P) &\to &E\,(= K[\alpha]) \\
&f &\mapsto &f(\alpha)
\end{array}
定義
$P \in K[X]$ とする。この時、$K$ の拡大 $L$ が $P$ についての splitting field (分解体) であるとは、 $L$ において $P$ が分解 ($c \prod_{j} (X - \alpha_j),\ c \in K,\ \alpha_j \in L$) され、 $P$ の根が $L$ を生成する時を言う。
定理
1) $P$ についての分解体は存在し、 $d = \mathrm{deg}(P)$ とする時、分解体の拡大次数 $\leq d\,!$ が成立する。
2) $L,\ L^\prime$ を2つの分解体とする時、 $\exists \varphi: L \overset{\sim}{\rightarrow} L^\prime$
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abstract algebra - Definition of normal field extension - Mathematics Stack Exchangeはなかなか面白い質問。任意の拡大体は分離拡大か？ということになる。上記定義にあるように「根が拡大体を生成する」という条件を落とすと、意味のない定義になるということ。
