$A$-代数のテンソル積について。
$M,N$: $A$-代数。
\begin{array}{ccccc}
P & \overset{h}{\longleftarrow} & M \otimes_A N & \overset{h}{\longrightarrow} & \!\!\!\! P \\
\!\!\!\! f \uparrow & \!\!\!\circlearrowleft\ \nearrow \varphi & & \psi \nwarrow \ \circlearrowleft & \uparrow g \\
M & & & & \!\!\!\! N \\
& \nwarrow & & \nearrow & \\
& & A & &
\end{array}
この時、 $M \otimes_A N$ を $A$-加群としての $M,N$ のテンソル積として、以下の積を導入して $A$-代数とみなす。
\begin{equation}
(m \otimes_A n)(m^\prime \otimes_A n^\prime) := m m^\prime \otimes_A n n^\prime
\end{equation}
また、 $\varphi(m) = m \otimes_A 1$, $\psi(n) = 1 \otimes_A n$ とする。
$P$: $A$-代数とする時、以下の universal property が成立する。
\begin{align}
\mathrm{Hom}_A(M \otimes_A N, P) \ni h \overset{\text{1 to 1, onto}}{\longleftrightarrow} (f,g) \in &\{ (f,g) \in \mathrm{Hom}_A(M,P) \times \mathrm{Hom}_A(N,P); \\
&\quad f(m)g(n) = g(n)f(m), m \in M,n \in N \}
\end{align}
$h \in \mathrm{Hom}_A(M \otimes_A N, P)$ が与えられたとする。この時、 $f = h \circ \varphi,\ g = h \circ \psi$ とおくことで、対応 $F: h \mapsto (f,g)$ が得られた。
$f(m m^\prime) = h(m m^\prime \otimes 1) = h( (m \otimes 1)(m^\prime \otimes 1) ) = h(m \otimes 1) h(m^\prime \otimes 1) = f(m) f(m^\prime)$ により、 $f,g$ は $A$-代数の準同型になる。
また、 $f(m)g(n) = h(m \otimes 1)h(1 \otimes n) = h( (m \otimes 1)(1 \otimes n) ) = h(m \otimes n) = g(n)f(m)$ も成立する。
逆に、 $f,g$ が与えられたとする。
\begin{equation}
\begin{cases}
h(0) = 0, \\
h(\sum_{mn} a_{mn} m \otimes n) = \sum_{mn} a_{mn} f(m) g(n)
\end{cases}
\end{equation}
なる写像を考える。これは well-defined である。と言うのも、 $(m,n)$'s と $(m^\prime,n^\prime)$'s に対して $\sum_{mn} a_{mn} m \otimes n = \sum_{m^\prime n^\prime} a_{m^\prime n^\prime} m^\prime \otimes n^\prime$ の時、
\begin{align}
\sum_{mn} a_{mn} f(m) g(n) - \sum_{m^\prime n^\prime} a_{m^\prime n^\prime} f(m^\prime) g(n^\prime) &= \sum_{mn} a_{mn} f(m) g(n) + \sum_{m^\prime n^\prime} (-a_{m^\prime n^\prime}) f(m^\prime) g(n^\prime) \\
& = h\Big(\sum_{mn} a_{mn} m \otimes n + \sum_{m^\prime n^\prime} (-a_{m^\prime n^\prime}) m^\prime \otimes n^\prime \Big) \\
& = h(0) = 0
\end{align}
となるからである。
\begin{align}
h( (m \otimes n)(m^\prime \otimes n^\prime) ) &= h (m m^\prime \otimes n n^\prime) \\
&= f(m m^\prime) g(n n^\prime) \\
&= f(m)f(m^\prime)g(n)g(n^\prime) \\
&= f(m)g(n)f(m^\prime)g(n^\prime) = h(m \otimes n) h(m^\prime \otimes n^\prime)
\end{align}
より、 $A$-代数の準同型写像にもなっている。よって、対応 $G: (f,g) \mapsto h$ が得られた。
$F,G$ が互いに逆の対応であることを見よう。
$h \in \mathrm{Hom}_A(M \otimes_A N, P)$ に対して
\begin{align}
(G \circ F)h(m \otimes n) &= (h \circ \varphi)(m) (h \circ \psi)(n) \\
&= h (m \otimes 1) h (1 \otimes n) \\
&= h( (m \otimes 1)(1 \otimes n) ) = h(m \otimes n)
\end{align}
であるので、 $G \circ F = id$ である。
逆に、 $(f,g) \in \mathrm{Hom}_A(M,P) \times \mathrm{Hom}_A(N,P)$ に対して
\begin{align}
(F \circ G)(f,g)(m,n) &= (G(f,g) \circ \varphi(m), G(f,g) \circ \psi(m)) \\
&= (G(f,g)(m \otimes 1), G(f,g)(1 \otimes n)) \\
& = (f(m)g(1), f(1)g(n) = ( f(m), g(n) )
\end{align}
であるので、 $F \circ G = id$ である。
以上から、 $h \longleftrightarrow (f,g)$ の対応は1対1であることが分かった。
