色んな例の続き。苦手だゎ...。
$X^2+1 \in \R[X]$ は既約なので、 $\R[X]/(X^2+1)$ は体になる。(飽きたらやめようGalois理論(1)―体と既約多項式 - らんだむな記憶)
具体的には、 $\R[X]/(X^2+1) = \{a + bX;\ a,b \in \R\} \simeq \C$
或は、stem fieldを思い出して、 $\R[X]/(X^2+1) \simeq \R[\sqrt{-1}] \simeq \C$ と書いたほうがすっきりするかも。
これを使うと、 $\C \otimes_\R \C \simeq \C \otimes_\R \R[X]/(X^2+1)$ となる。次に、飽きたらやめようGalois理論(27)―具体例 - らんだむな記憶で触れた係数環の変更により、 $\R[X]/(X^2+1)$ の複素化について、 $\C \otimes_\R \R[X]/(X^2+1) \simeq \C[X]/(X^2+1)$ が成立する。
更に、中国の剰余定理より、 $\C[X]/(X^2+1) \simeq \C[X]/(X+i) \times \C[X]/(X-i)$ となる。これは、 $(-i/2)(X+i) + (i/2)(X-i) = 1$ よりイデアル $(X+i)$ と $(X-i)$ が互いに素であることから従う。
$\C[X]/(X+i) \simeq \C,\ \C[X]/(X-i) \simeq \C$ であるので、すべてを繋げると、
\begin{align}
\C \otimes_\R \C \simeq \C \otimes_\R \R[X]/(X^2+1) &\simeq \C[X]/(X^2+1) \\
&\simeq \C[X]/(X+i) \times \C[X]/(X-i) \simeq \C \times \C
\end{align}
となる。左から、 $\R$-代数としての同型, $\C$-代数としての同型, 環としての同型, 環としての同型である。*1
と言うことで、構造を忘れることですべて環の同型と見ることができる。
$\C[X]/(X^2+1)$ において、$(X+i)(X-i) = X^2 + 1$ であるので、 $\overline{X+i} \in \C[X]/(X^2+1)$ は零因子になる。これは $1 \otimes \bar{X} + i \times \bar{1} \in \C \otimes_\R \R[X]/(X^2+1)$ に対応し、 $1 \otimes i + i \otimes 1 \in \C \otimes_\R \C$ に対応する。よって、 $\C \otimes_\R \C$ は体ではない。
実際、
\begin{align}
(1 \otimes i + i \otimes 1)(1 \otimes i - i \otimes 1) &= 1 \otimes (-1) - i \otimes i + i \otimes i - (-1) \otimes 1 \\
&= -(1 \otimes 1) - i^2\,(1 \otimes 1) + i^2\,(1 \otimes 1) + (1 \otimes 1) = 0
\end{align}
である。
これは、飽きたらやめようGalois理論(26)―有限K-代数の構造定理 - らんだむな記憶の1つ目の例になる。
$A = \C[X]/(X^2+1)$ とし、 $m_1 = (X+i), m_2 = (X-i)$ とすると、 $A/m_1 \simeq \C[X]/(X+i)$ となるのである。
$\bar{f} \in A$ を $\bar{f}(X) = a + bX + (X^2+1)Q(X) = a + bX + (X+i)Q^\prime(X)$ と書くことで、 $A \hookrightarrow \C[X]/(X+i)$ となるが、$(X+i)$ はこの写像の核に含まれる。よって、 $A/m_1 \to \C[X]/(X+i)$ が誘導される。 $\bar{c} \in \C[X]/(X+i)$ をとると、これは複素数であるので、 $\bar{c} \in A/m_1$ からうつる。よって、 $A/m_1 \simeq \C[X]/(X+i)$ である。同様に、 $A/m_2 \simeq \C[X]/(X-i)$ であり、 $A \simeq A/m_1 \times A/m_2$ となっている。有限 $K$-代数の構造定理で言うと、 $n_1 = n_2 = 1$ のケースである。
*1:左から3つ目の環同型は中国の剰余定理によるものなので、左右でどういう元同士が対応しているかはなかなか分かりにくい。
