閑話休題的なー。
$A$: 環。 $M,N: A$-加群の話に戻る。 $A$ はそれ自体 $A$-加群であるので、
\begin{matrix}
A \times M & \overset{f}{\longrightarrow} & M \\
\varphi \searrow & \backquad\backquad \circlearrowleft & \backquad \nearrow \tilde{f} \\
& \backquad\backquad A \otimes_A M &
\end{matrix}
といった構図を考えることが出来る。 $f(a,m) = am$ を考えれば良い。
$\tilde{f}(\bar{\delta}_{1,m}) = f(1, m) = m $ であるので $\tilde{f}$ は全射である。
よって、 $A \otimes_A M \overset{\sim}{\to} M $ を得る。
次に、 $M,N$ を自由加群であるとしてみた場合に、 $M $ の基底を $\{e_1, \cdots, e_m\}$ とし、 $N$ の基底を $\{\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n\}$ とする。
\begin{matrix}
M \times N & \overset{f}{\longrightarrow} & A \\
\varphi \searrow & \backquad\backquad \circlearrowleft & \backquad \nearrow \tilde{f} \\
& \backquad\backquad M \otimes_A N &
\end{matrix}
を考え、 $f(\sum a_i e_i, \sum b_j \varepsilon_j) = a_0b_0$ であるとする。
$M \otimes_A N$ の元は $\sum c_{ij} e_i \otimes \varepsilon_j$ と書けるが、いま、 $\sum c_{ij} e_i \otimes \varepsilon_j = 0$ としてみよう。
$\tilde{f}$ を適用すると $0 = \tilde{f}(\sum c_{ij} e_i \otimes \varepsilon_j) = c_{00}$ を得る。
$f$ を取り直して、$f(\sum a_i e_i, \sum b_j \varepsilon_j) = a_{i_0}b_{j_0}$ であるとする。この場合も $c_{i_0 j_0} = 0$ を得る。 $f$ をどんどん取り換えることですべての $c_{ij} = 0$ を得る。
よって、 $\{ e_i \otimes \varepsilon_j \}$ は $M \otimes_A N$ の基底となる。これはベクトル空間のテンソル積のところで触れた新しい基底についての一時独立性を、テンソル積の「普遍性」によって示した形になる。
