なんだかよく分からなくなってきたので、具体例を見ていく。
$A$: 環, $B$: $A$-代数として、 $A[X]$ の係数環をbase changeする。
$B \otimes_A A[X] \simeq B[X]$ を見たい。
\begin{array}{rccc}
\varphi: &A[X] &\to &B \otimes_A A[X] \\
&X^n &\mapsto &1 \otimes_A X^n
\end{array}
を考えることで、 $\{ 1 \otimes 1, 1 \otimes X, \cdots, 1 \otimes X^n, \cdots \}$ が $B \otimes_A A[X]$ の基底となる。このテンソル積に $B$-加群の構造を入れ、
\begin{array}{cccc}
\phi: &B \otimes_A A[X] &\to &B[X] \\
&b \otimes_A X^n &\mapsto &b X^n
\end{array}
とすることで、($B$-加群としての)同型写像が得られる。
同じことをBase change theoremを通して見てみる。
\begin{array}{cccc}
\iota: &A[X] &\to &B[X] \\
&X^n &\mapsto &X^n
\end{array}
なる埋め込み写像 $\iota \in \mathrm{Hom}_A(A[X], B[X])$ に対応するのは、 $\mu \circ (id \otimes \iota) \in \mathrm{Hom}_B(B \otimes_A A[X], B[X])$ で、これは $b \otimes_A X^n \mapsto b \otimes_A X^n \mapsto b X^n$ のように元をうつす。つまり、前述の対応そのものである。
もう少し例を見てみよう。
$P \in A[X]$ をとって、 $A[X]/(P)$ を考えると、これも $A$-加群である。この係数環を $A$ から $B$ にbase changeする。
$B \otimes_A A[X]/(P)$ がそれであるが、 $\mathrm{Hom}_A(A[X]/(P), B[X]/(P)) \ni \iota: A[X]/(P) \hookrightarrow{} B[X]/(P)$ に対応する準同型写像 $\mu \circ (id \otimes \iota) \in \mathrm{Hom}_A(B \otimes_A A[X]/(P), B[X]/(P))$ は $b \otimes \bar{f} \mapsto b \otimes \bar{f} \mapsto b\bar{f}$ のように元をうつす。
これによって、 $B \otimes_A A[X]/(P) \simeq B[X]/(P)$ が得られる。
