$A$: 環, $B: A$-代数, $M: A$-加群とする。
$B$ は $A$-加群でもあるので、 $A$-加群としてのテンソル積 $B \otimes_A M $ を考えることができる。
一方これに $B$-加群としての構造を導入できる。(the base change of $M $ to $B$ (係数環の変換 *1 ))
この時、 $B$-加群としての構造を持った $B \otimes_A M $ を誘導加群と呼ぶ。
$M $ の基底を抽象化して、係数だけ $B$ にしてしまう感じだろう。とは言え、テンソル積を形成するために、 $B$ は $A$-加群、そして係数環を積で閉じさせるために $A$-代数の構造を持っている必要がある。
\begin{array}{ccc}
&B \times (B \otimes_A M) &\to &B \otimes_A M \\
&(b, b^\prime \otimes m) &\mapsto &(b b^\prime) \otimes m
\end{array}
とすれば良い。
さて、 $\R^n$ の基底を $e_1,\cdots, e_n$ としよう。この時、上記より、 $\R$-代数 $\C$ と $\R$-加群 $\R^n$ に対して、 $\C$-加群 $\C \otimes_{\R} \R^n$ が考えられる。これの基底は $1 \otimes_\R e_1, \cdots, 1 \otimes_\R e_n$ と書けるので、 $\C$-加群として $\C^n$ と同一視できる。 $\C^n$ 自身は複素構造を忘れてしまうと、 $\R^{2n}$ と同一視ができる。
よって視点を変更することで、
\begin{array}{ccccc}
&\R^n &\overset{\text{complexify}}{\leadsto} &\C^n \simeq \C \otimes_\R \R^n &\leadsto &\R^{2n} \\
&\{e_1,\cdots,e_n\} & &\{1 \otimes e_1, \cdots, 1 \otimes e_n\} & &\{1 \otimes e_j, \sqrt{-1} \otimes e_k\}
\end{array}
という見方ができる。
一般化すると、 $M: A$-自由加群の時、その基底を $e_1,\cdots,e_n$ として自由 $B$-加群 $B \otimes_A M $ を考えることができる。
\begin{array}{ccc}
&M &\to &B \otimes_A M \\
&m &\mapsto &1 \otimes_A m
\end{array}
また、 $B$-加群 $N$ に対して、
\begin{array}{ccc}
&B \otimes_A N &\to &N \\
&(b \otimes_A n) &\mapsto &bn
\end{array}
を考えることができる。また、 $N$ は $B$-加群であるが $B$ の構造を忘れて $A$ の演算だけを考えることで $A$-加群ともみなせることに注意する。
$A$-加群 $M $ に対して $B$-加群の構造を入れた $B \otimes_A M $ を考える時、 $A$-加群準同型写像 $f: M \to N$ ($N$ は $B$-加群の構造を忘れて $A$-加群と見ている) は $B$-加群準同型写像 $g: B \otimes_A M \to N$ に1対1に対応することを見る。
Theorem (Base change theorem)
$\mathrm{Hom}_A(M,N) \overset{\text{1 to 1, onto}}{\longleftrightarrow} \mathrm{Hom}_B(B \otimes_A M,N)$
proof
$f \in \mathrm{Hom}_B(B \otimes_A M,N)$ をとる。この時、
\begin{array}{ccc}
\alpha: &M &\to &B \otimes_A M \\
&m &\mapsto &1 \otimes_A m
\end{array}
を考えることで、対応 $f \mapsto f \circ \alpha \in \mathrm{Hom}_A(M,N)$ を得る。
次に、 $g: M \to N$ をとる。
\begin{array}{ccc}
id \otimes g: &B \otimes_A M &\to &B \otimes_A N \\
&b \otimes_A m &\mapsto &b \otimes_A g(m)
\end{array}
と
\begin{array}{ccc}
\mu: &B \otimes_A N &\to &N \\
&b \otimes_A n &\mapsto &bn
\end{array}
の合成を考えることで対応 $g \mapsto \mu \circ (id \otimes g)$ を得る。
これらの対応を $F(f) = f \circ \alpha,\ G(g) = \mu \circ (id \otimes g)$ と書こう。
この $F, G$ が互いに逆になっていることを見よう。
$b \in B,\ m \in M $ を任意にとる。
\begin{align}
(G \circ F)(f)(b \otimes m) &= (\mu \circ (id \otimes F(f)))(b \otimes m) \\
&= \mu(b \otimes F(f)(m)) \\
& = b F(f)(m) = b f(1 \otimes m) = f(b \otimes m)
\end{align}
であるので、 $(G \circ F)(f) = f$ より、 $G \circ F = id$ である。
逆に、 $m \in M $ を任意にとる。
\begin{align}
(F \circ G)(g)(m) &= (G(g) \circ \alpha)(m) \\
&= G(g)(1 \otimes m) \\
& = \mu (1 \otimes g(m)) = 1 \times g(m) = g(m)
\end{align}
であるので、 $(F \circ G)(g) = g$ より、 $F \circ G = id$ である${}_\blacksquare$
