Theorem (有限 $K$-代数の構造定理)
$K$: 体, $A$: $K$-代数。 $\dim_K A < \infty$ とする。この時、以下が成立する。
(1)$A$ の極大イデアルは高々有限個である。($m_1,\cdots, m_r$)
(2)$J := m_1 \cap \cdots \cap m_r = \prod m_j$ とする時、ある $n \in \N$ に対して $J^n = 0$ である。
(3)$A \simeq A/m_1^{n_1} \times \cdots \times A/m_r^{n_r} \ \text{for}\ \exists n_1,\cdots,n_r$
例
- $K[X]/(X^2\cdot(X+1)^3) \simeq K[X]/(X)^2 \times K[X]/(X+1)^3$
- $\C \otimes_\R \C = \C \times \C$
- $\Q(\sqrt{2}) \otimes_\Q \Q(\sqrt{3}) = \Q(\sqrt{2},\sqrt{3})$
