続き。 $\Q$-代数としての同型, $\Q(\sqrt{2})$-代数としての同型としての連鎖で以下を得る。$\Q(\sqrt{2}) \otimes_\Q \Q(\sqrt{3}) \simeq \Q(\sqrt{2}) \otimes_\Q \Q[X]/(X^2-3) \simeq \Q(\sqrt{2})[X]/(X^2-3)$ここで、 $X^2-3$ は $\Q(\sqrt{2})[X]$ …

色んな例の続き。苦手だゎ...。$X^2+1 \in \R[X]$ は既約なので、 $\R[X]/(X^2+1)$ は体になる。(飽きたらやめようGalois理論(1)―体と既約多項式 - らんだむな記憶) 具体的には、 $\R[X]/(X^2+1) = \{a + bX;\ a,b \in \R\} \simeq \C$ 或は、stem fieldを思…

なんだかよく分からなくなってきたので、具体例を見ていく。$A$: 環, $B$: $A$-代数として、 $A[X]$ の係数環をbase changeする。 $B \otimes_A A[X] \simeq B[X]$ を見たい。 \begin{array}{rccc} \varphi: &A[X] &\to &B \otimes_A A[X] \\ &X^n &\mapsto …