$L/K$ を有限次拡大とする。
Def
$[L:K]_{sep} := |\mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})|$
もし、 $L=K(\alpha)$ の場合には、 $[L:K]_{sep}$ は $\alpha$ の最小多項式の相異なる根の個数である。($\varphi \in \mathrm{Hom}_K(L,\bar{K})$ は $\alpha$ を別の根にうつすので、その候補の数が分離次数となる。相異なる根の数 $\leq \deg(P_\min(\alpha, K)) = [L:K]$ であるので、 $[L:K]_{sep} \leq [L:K]$ である。)
$[L:K]_{sep} = [L:K]$ の時、 $L$ は $K$ 上分離的と呼ぶ。
また、 $[L:K]_i := [L:K] / [L:K]_{sep}$ と置く。
Theorem
(1)$K \subset L \subset M $ とする。
この時、 $[M:L]_{sep} = [M:L]_{sep}[L:K]_{sep}$ が成立する。
また、 $M $ は $K$ 上分離的 $\iff$ $M $ は $L$ 上分離的かつ $L $ は $K$ 上分離的である。
(2)以下の条件は同値である:
i)$L$ は $K$ 上分離的。
ii)$\forall\,\alpha \in L$ は $K$ 上分離的。
iii)$L = K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n), \forall\,\alpha_i$ は $K$ 上分離的。
iv)$L = K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n),$ 各 $\alpha_i$ は $K(\alpha_1,\cdots,\alpha_{i-1})$ 上分離的。
Remark
「分離的」を「純非分離的」に置き換えた定理も成立する。
$L/K$ が必ずしも有限次ではない代数拡大の場合を考える。
Def
$L^{sep} := \{ x;\ x$ は $K$ 上分離的 $\}$ は $L/K$ の中間体であり、分離閉包と呼ばれる。
$L/L^{sep}$ は純非分離である。
Remark
1) $\mathrm{char}(K) = 0$ の時、任意の拡大は分離的である。
2) $\mathrm{char}(K) = p$ の時、任意の純非分離拡大体は拡大次数 $p^r$ を持ち、 $[L:K]_i = p^r$ となる。
