テンソル積。昔からちょー苦手。実体を感じられない。あまりに抽象的でよく分からん。
$A$: 環。 $M,N$: $A$-加群とする。
$P$: $A$-加群, $f: M \times N \to P$: $A$-双線型写像というペア $(P,f)$ をどのようなものを選ぼうとも、裏から「$M $ と $N$ のテンソル積」という $A$-加群 $T$ が割り込んできて、 $\varphi: M \times N \to T$ とセットで、 $f = \tilde{f} \circ \varphi$ というように、 $\tilde{f}: T \to P$ なるただ1つの写像で橋をかけてくる、というのがミソのようだ。 $M \times N \to P$ の裏に隠れる真髄とでも言うか、「代数入門―群と加群―」の言葉を借りると「任意の $A$-双線型写像を “支配する普遍的な” $A$-加群の存在するのが、次に言うテンソル積」といったところか。
Def (テンソル積)
$A$: 環。 $M,N$: $A$-加群。テンソル積 $M \otimes_A N$ とは $A$-加群で、 $A$-双線型写像 $\varphi: M \times N \to M \otimes_A N$ とセットで以下の性質を持つようなものとして定義される。
(1)$\varphi$ の像は $M \otimes_A N$ を生成する。
(2)$\varphi$, $M \otimes_A N$ は「普遍性」を持つ。
「普遍性」とは、 $P$: $A$-加群, $f: M \times N \to P$: $A$-双線型写像が与えられた時、以下を可換にするようなただ1つの準同型写像 $\tilde{f}: M \otimes_A N \to P$ がとれる性質を言う。*1
\begin{matrix}
M \times N & \overset{f}{\longrightarrow} & P \\
\varphi \searrow & \backquad\backquad \circlearrowleft & \backquad \nearrow \tilde{f} \\
& \backquad\backquad M \otimes_A N &
\end{matrix}
Theorem
$A$: 環。 $M,N$: $A$-加群とする。この時、 $M,N$ のテンソル積 $M \otimes_A N$ が存在し、同型の差を除いて一意に定まる。
proof
Uniqueness
$\psi,\ T$ が(1)(2)の性質を持つとする。この時、 $P = T$ と置くことで、ただ1つの $\tilde{\psi}$ がとれて $\psi = \tilde{\psi} \circ \varphi$ を満たす。逆に、 $\psi,\ T$ の立場で見直すと、ただ1つの $\tilde{\varphi}$ がとれて $\varphi = \tilde{\varphi} \circ \psi$ を満たす。
従って、 $\varphi= \tilde{\varphi} \circ (\tilde{\psi} \circ \varphi) = (\tilde{\varphi} \circ \tilde{\psi}) \circ \varphi$ となるが、 $\varphi$ の像が $M \otimes_A N$ を生成するので、 $\tilde{\varphi} \circ \tilde{\psi} = id \,\ \text{on}\,\ M \otimes_A N$ となる。同様に、 $\tilde{\psi} \circ \tilde{\varphi} = id \,\ \text{on}\,\ T$ となる。
よって、 $M \otimes_A N \overset{\tilde{\psi}}{\simeq} T$ が成立する。
Existence
$\delta_{mn}: M \times N \to A$ なる集合函数を考える(或は記号 $[m.n]$ でも良い)。ここで、
\begin{array}.
\delta_{mn}(x,y) =
\begin{cases}
1,\quad &x = m,y=n\\
0\quad &\text{otherwise}
\end{cases}
\end{array}
とする。
$$
\mathscr{E} := \Big\{ \sum_{m.n: \text{finite}}a_{mn}\delta_{mn};\ m \in M, n \in N, a_{mn} \in A \Big\}
$$
と置く。 $\mathscr{E}$ は自由 $A$-加群であり、その基底は $\{\delta_{mn}\}_{m \in M,n \in N}$ である。
\begin{array}.
\phi: &M \times N &\to &\mathscr{E} \\
&\ (m,n) &\mapsto &\delta_{mn}
\end{array}
なる集合函数を考える。これは当然一般に双線型写像ではないので、これをもとに双線型写像を構築する。
$\mathscr{E}$ の部分 $A$-加群として、
- $\delta_{m+m^\prime,n} - \delta_{m,n} - \delta_{m^\prime,n}$
- $\delta_{m,n+n^\prime} - \delta_{m,n} - \delta_{m,n^\prime}$
- $\delta_{am,n} - a\delta_{m,n},\ a \in A$
- $\delta_{m,an} - a\delta_{m,n},\ a \in A$
なる集合函数で生成されるものを $\mathscr{F} \subset \mathscr{E}$ とする。
そして、 $\varphi: M \times N \to \mathscr{E}/\mathscr{F}$ を考える。ここで、
\begin{matrix}
M \times N & \backquad\backquad\overset{\phi}{\longrightarrow}\backquad\backquad & \backquad \mathscr{E} \\
& \backquad \varphi \searrow \ \circlearrowright & \backquad \downarrow \iota \\
& & \backquad \mathscr{E}/\mathscr{F}
\end{matrix}
とする。
この時、 $\varphi: (m+m^\prime,n) \overset{\phi}{\mapsto} \delta_{m+m^\prime,n} \overset{\iota}{\mapsto} \bar{\delta}_{m+m^\prime,n} = \bar{\delta}_{m,n} + \bar{\delta}_{m^\prime,n}$ 等が成立するので、 $\varphi: M \times N \to \mathscr{E}/\mathscr{F}$ は双線型写像になる。
最後に性質(2)を確認しよう。 $f: M \times N \to P$ が与えられたとする。この時、準同型
\begin{array}.
F: &\mathscr{E} &\to &\quad P \\
&\backquad \sum a_{mn} \delta_{mn} &\mapsto &\sum a_{mn} f(m,n)
\end{array}
を定める。
$\mathscr{F}$ の生成元は、例えば $\delta_{m+m^\prime,n} - \delta_{m,n} - \delta_{m^\prime,n} \mapsto f(m+m^\prime,n) - f(m,n) - f(m^\prime,n) = 0$ のように $f$ の双線型性により $0$ にうつる。従って、 $\mathscr{F} \subset \mathrm{Ker}(F)$ になる。
準同型定理から、 $\tilde{F}: \mathscr{E}/\mathscr{F} \to P$ が引き起こされるが、 $(\tilde{F} \circ \varphi)(m,n) = \tilde{F}(\bar{\delta}_{mn}) = f(m,n)$ なので、 $\tilde{F} \circ \varphi = f$ が成立する。
これで求めるような $\tilde{F}$ が得られたので一意性を見る。 $\tilde{f}: \mathscr{E}/\mathscr{F} \to P \ \text{s.t.}\ \tilde{f} \circ \varphi = f$ が他に存在するとすると、 $\tilde{F} \circ \varphi = \tilde{f} \circ \varphi$ となるが、 $\varphi$ による $M \times N$ の像は $\mathscr{E}/\mathscr{F}$ を生成するので、 $\tilde{F} = \tilde{f}$ となり一意性が示された。
$\mathscr{E}/\mathscr{F}$ が求めるようなテンソル積 $M \otimes_A N$ である${}_\blacksquare$
上記で、 $\tilde{f}$ の存在性と一意性については「代数入門―群と加群―」を参考にした。
また、大体同様のことが「Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels」にもある。F. Treves 先生のこの本はここぞという時に辞書のように使える神本だ。
