Amazon.co.jp： C*-Algebras and Operator Theory: Gerald J. Murphy: 洋書から必要なとこを抜粋。手短になるように全部めちゃくちゃきつい設定で。
Definition (スペクトル半径)
$A$ を単位的$C^*$-代数とし、$a \in A$ とする。この時、
$$\mathrm{r}(a) = \sup_{\lambda \in \sigma(a)}|\lambda|$$
を $a$ のスペクトル半径と言う${}_\square$
1.2.7. Theorem (Beurling)
$A$ を単位的$C^*$-代数とし、$a \in A$ とする。この時、
$$r(a) = \inf_{n \ge 1} \|a^n\|^{1/n} = \lim_{n \to \infty} \|a^n\|^{1/n}$$
が成立する${}_\square$
また、ノルムの劣乗法性より $r(a) \le \|a^n\|^{1/n} \le \|a\|^{n\cdot 1/n} = \|a\|$ が成立する。
2.1.1. Theorem
$A$ を単位的$C^*$-代数とし、$a \in A$ を自己共役とする。この時 $r(a) = \|a\|$ が成立する。
Proof.
$C^*$-代数の定義より $\|a^* a\| = \|a\|^2$ であって、仮定より $a = a^*$ であるので、$\|a^2\| = \|a\|^2$ を得る。よって、Beurling の定理より、$r(a) = \inf_n \|a^{2^n}\|^{1/2^n} = \|a\|$ を得る${}_\square$
2.1.7. Theorem
$A,B$ を単位的$C^*$-代数とし、$\varphi: A \to B$ を $*$-準同型写像とする。この時、$\varphi$ はノルム減である。
Proof.
$a \in A$ とする。$\lambda - \varphi(a) = \varphi(\lambda - a)$ であるので、$\lambda \not\in \sigma(a)$ の時、$( \lambda - \varphi(a) )^{-1} = \varphi( (\lambda - a)^{-1} )$ となり、$\lambda \not\in \sigma( \varphi(a) )$ である。従って、$\sigma( \varphi(a) ) \subset \sigma(a)$ を得る。$a$ を $a^* a$ に置き換えると、$\sigma( \varphi(a^* a) ) \subset \sigma(a^* a)$ となるので、$r(\varphi(a^* a)) \le r(a^* a)$ である。
また、$a^*a$ は自己共役であり、従って、$\varphi(a^* a)$ も自己共役となるので、Theorem 2.1.1. より、$r(\varphi(a^* a)) = \|\varphi(a^* a)\|$ が従う。故に、
$\|\varphi(a)\|^2 = \|\varphi(a)^* \varphi(a)\| = \|\varphi(a^* a)\| = r(\varphi(a^* a)) \le r(a^* a) \le \|a^* a\| = \|a\|^2$
を得る。両辺の平方根をとって、$\|\varphi(a)\| \le \|a\|$ を得る${}_\square$
――― という抜粋を踏まえた抜粋を次回書きたい。それを踏まえて、Category Theory に戻ってうにょうにょして、そのうちまた戻ってきてうにょうにょできるといいなぁ。
