$n=1$ のケースで直接計算を行う。$[n] = \{ \varnothing, \{1\} \}$ である。
$$
\begin{align*}
C(x) = w_{\{1\}, \varnothing} x_1 + w_{\varnothing, \{1\}} (1 - x_1) + w_{\{1\}, \{1\}} x_1 (1 - x_1)
\end{align*}
$$
である。よって、損失関数 $C(x)$ から定まるハミルトニアンは
$$
\begin{align*}
H &= \sum_{x=0}^1 C(x) \ket{x} \bra{x} \\
&= w_{\{1\}, \varnothing} \ket{0} \bra{0} + w_{\varnothing, \{1\}} \ket{1} \bra{1} \\
& = \begin{pmatrix}
w_{\{1\}, \varnothing} & 0 \\
0 & w_{\varnothing, \{1\}}
\end{pmatrix}
\tag{1}
\end{align*}
$$
となる。一方、
$$
\begin{align*}
&w_{\{1\}, \varnothing} \frac{1 - Z_1}{2} + w_{\varnothing, \{1\}} \frac{1 + Z_1}{2} + w_{\{1\}, \{1\}} \frac{1 - Z_1}{2} \frac{1 + Z_1}{2} \\
=&\ w_{\{1\}, \varnothing} \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} + w_{\varnothing, \{1\}} \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \\
=&\ \begin{pmatrix}
w_{\{1\}, \varnothing} & 0 \\
0 & w_{\varnothing, \{1\}}
\end{pmatrix}
\tag{2}
\end{align*}
$$
となる。ここで、$Z_1^2 = 1$ より $(1 - Z_1) (1 + Z_1) = 1 + Z_1 - Z_1 - Z_1^2 = 0$ を用いた。
(1) 式と (2) 式が等しい事から、$n=1$ では、
$$
\begin{align*}
H = \sum_{Q, \overline{Q} \subset [1]} w_{Q,\overline{Q}} \prod_{i \in Q} \frac{1 - Z_1}{2} \prod_{j \in \overline{Q}} \frac{1 + Z_1}{2}
\end{align*}
$$
と書けることが分かった。
