A. Martinez の本によると $m \in C^\infty (\mathbb{R}^d;(0,\infty))$ が $\partial^\alpha m = \mathcal{O}(m),\ \alpha \in \mathbb{N}^d, \text{unif on } \mathbb{R}^d$ を満たしているものを order function と呼ぶ。
この order function の性質について調べてみよう。
$j$ 番目に着目して、
\begin{eqnarray}
m(x) - m(x_1,\cdots,a,\cdots,x_d) &=& \int_{a}^{x_j} \frac{\partial m}{\partial x_j}(\cdots,x_j^\prime,\cdots) dx_j^\prime,\ x_j \geq a \\
&\leq& c \int_{a}^{x_j} m(\cdots,x_j^\prime,\cdots) dx_j^\prime
\end{eqnarray}
を得る。ここで $G(t) = \int_{a}^{t} m(\cdots,x_j^\prime,\cdots) dx_j^\prime,\ k = m(x_1,\cdots,a,\cdots,x_d)$ とおくと、
\begin{equation}
\frac{d}{dt} G(t) - k \leq c G(t),\ t \geq a \quad\quad\quad\quad (*)
\end{equation}
が成立する。Gronwallの不等式の証明と同様にして
\begin{equation}
G(x_j) \leq \frac{k}{c} \left(e^{c(x_j - a)} - 1 \right)
\end{equation}
を得る。これを (*) に代入すると
\begin{equation}
m(x) = \frac{d}{dt} G(t) \Big|_{t=x_j} \leq k e^{c(x_j - a)},\ x_j \geq a
\end{equation}
となる。このことから仮定を踏まえて任意の $\alpha \in \mathbb{N}^d$ に対して
\begin{equation}
\partial^\alpha m(x) \leq k_\alpha e^{c_\alpha (x_j - a)},\ x_j \geq a
\end{equation}
が従う ${}_\blacksquare$
以上から、order function としては $m(x) = e^{\langle x \rangle}$ のような指数函数程度の増大度のものも許容されることが分かる。(一方 M. Zworski の本に見られるような admissible weight function と呼ばれるものは多項式程度の増大度で抑えられている)
