ちょと公式を並べよう。
\begin{align}
\sin (\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \hspace{5em} &(1) \\
\cos (\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \hspace{5em} &(2) \\
\sin \alpha + \sin \beta &= 2\sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right)\cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right) \hspace{5em} &(3)
\end{align}
このくらいおさえておくと結構色々計算できる。
例えば、実数$x,\ y$が
\begin{equation}
\sin (x + y) = \sin x + \sin y
\end{equation}
を満たす条件を見つけたい。何で見つけたいって？見つけたい理由ができたからだよ！
これを以下のように変形して、加法定理を使う。
\begin{equation}
\sin \left(2 \cdot \frac{x + y}{2} \right) = \sin x + \sin y
\end{equation}
左辺に公式(1)を、右辺に公式(3)を適用すると、
\begin{equation}
2 \sin \left(\frac{x + y}{2} \right) \cos \left(\frac{x + y}{2} \right) = 2\sin \left(\frac{x + y}{2} \right)\cos \left(\frac{x - y}{2} \right)
\end{equation}
となる。
これを移項して整理して、更に$\{\cdots\}$内に加法定理(2)を適用すると、
\begin{align}
& \sin \left(\frac{x + y}{2} \right) \left\{ \cos \left(\frac{x + y}{2} \right) - \cos \left(\frac{x - y}{2} \right) \right\} = 0 \\
\Leftrightarrow \ & \sin \left(\frac{x + y}{2} \right) \left\{ - 2 \sin \left(\frac{x}{2} \right) \sin \left(\frac{y}{2} \right) \right\} = 0
\end{align}
となる。纏めると、
\begin{equation}
\sin \left(\frac{x + y}{2} \right) \sin \left(\frac{x}{2} \right) \sin \left(\frac{y}{2} \right) = 0 \hspace{5em} (4)
\end{equation}
が求める条件である。
更に、
\begin{equation}
\sin \theta = 0 \ \Leftrightarrow \ \theta \in \pi \mathbb{Z}
\end{equation}
という簡単な事実を用いると、(4)は以下のようになる。
\begin{equation}
x + y \in 2 \pi \mathbb{Z} \quad\mathrm{or}\quad x \in 2 \pi \mathbb{Z} \quad\mathrm{or}\quad y \in 2 \pi \mathbb{Z} \hspace{5em} (4^\prime)
\end{equation}
要するに、$2\pi$ 間隔の格子と斜め -45度の直線で格子点を通るようなもの全体からなる集合上の点が求めるものであることが分かる。
