先の命題の $Q$ に注目すると以下の性質があった。 $Q$ が既約で $(Q,Q^\prime) = 1$ ならば $Q$ は重根を持たない。つまり、 $Q$ の根はすべて異なり、splitting field の中で $\mathrm{deg}(Q)$ 個の値として得られる。 Def $P \in K[X]$ を既約多項式とす…

$K$ を標数 $p$ の体とする。 $P \in K[X]$ を既約多項式とし、 $X^p$ についての多項式になっているとする。例えば、 $(X^p)^2 + 2(X^p) + 1$ など。 更に、一般に $X^{p^r}$ の形の多項式になっているとして、 $P(X) = Q(X^{p^r})$ とする。ここで $r$ と…

飽きたらやめようGalois理論(16)―有限体再考 - らんだむな記憶を考察しよう。 $p = 3,\ n = 2$ の場合を考える。 $\mathbb{F}_3 = \{0,1,2\}$ そしてその上の既約多項式として、 $X^2 + 1$ をとる。(飽きたらやめようGalois理論(12)―有限体を考える - らんだ…

代数学はもぅﾏﾁﾞ無理ってくらい難しいな。 Theorem $K$: 体, $G$: $K^\times$ の有限部分群。この時、 $G$ は巡回群になる${}_\square$「体とガロア理論」第2章定理2.27や「代数概論」第V章命題6.1として載っている。 Cor1 $K \supset \mathbb{F}_p, \ [K : …