有限体続き。
Theorem
$\mathbb{F}_{p^n}$ は任意の $n$ 次既約多項式 $P \in \mathbb{F}_p[X]$ の stem field かつ splitting field である。
proof
$P(\alpha) = 0$ なる $\alpha$ を1つとって $\mathbb{F}_p[\alpha] (\subset \bar{\mathbb{F}}_p)$ を考えると、 $\mathbb{F}_p[\alpha] \simeq \mathrm{span}\{1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}\}$ であるので、 $|\mathbb{F}_p[\alpha]| = p^n$ となる。
先の定理により $\mathbb{F}_p[\alpha]$ は $\mathbb{F}_{p^n}$ である。特に、 $\alpha \in \mathbb{F}_{p^n}$ となる。
$P(\alpha) = 0$ とすると、 $\alpha \in \mathbb{F}_{p^n}$ であることが分かったので、$P$ の任意の根は $\mathbb{F}_{p^n}$ に含まれる。よって、 $P$ の根を $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ とする時、$\mathbb{F}_p[\alpha_1,\cdots,\alpha_n] \subset \mathbb{F}_{p^n}$ である。
一方、前半より $\mathbb{F}_p[\alpha_1] = \mathbb{F}_{p^n}$ であるので、
\begin{equation}
\mathbb{F}_p[\alpha_1] \subset \mathbb{F}_p[\alpha_1,\cdots,\alpha_n] \subset \mathbb{F}_{p^n} = \mathbb{F}_p[\alpha_1]
\end{equation}
を得る ${}_\blacksquare$
