不偏分散 $s^2$ が従う確率分布はカイ 2 乗分布になるので、それを見るための準備をする。このために [3] p.45 の命題 3.15 を利用する。
確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従う時 $Z^2$ が自由度 1 のカイ 2 乗分布 $\chi_1^2$ に従うという主張であるが、これを特性函数を用いて確認する。
\begin{align}
E[\exp (i t Z^2)] = \int_{\R^1} \exp (i t x^2) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( - \frac{x^2}{2} \right) dx
\end{align}
を求めたい。そのために $\left( E[\exp (i t Z^2)] \right)^2$ を重積分として表して極座標変換を用いる。
\begin{align}
E[\exp (i t Z^2)]^2 &= \left( \int_{\R^1} \exp (i t x^2) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( - \frac{x^2}{2} \right) dx \right)^2 \\
&= \frac{1}{2\pi} \int \int \exp (i t (x^2+y^2)) \exp \left( - \frac{x^2+y^2}{2} \right) dxdy \\
&= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\infty \exp (i t r^2) \exp \left( - \frac{r^2}{2} \right) r dr \\
&= \int_0^\infty \exp (i t r^2) \exp \left( - \frac{r^2}{2} \right) r dr
\end{align}
ここで
\begin{align}
I = \int_0^\infty \exp (i t r^2) \exp \left( - \frac{r^2}{2} \right) r dr
\end{align}
とおくと、 $E[\exp (i t Z^2)]^2 = I$ である。部分積分により
\begin{align}
I &= - \exp (i t r^2) \exp \left( - \frac{r^2}{2} \right) \Bigg|_{r=0}^\infty + 2it \int_0^\infty \exp (i t r^2) \exp \left( - \frac{r^2}{2} \right) r dr = 1 + 2it I
\end{align}
を得るので $I = (1-2it)^{-1}$ が従う。よって、$E[\exp (i t Z^2)] = (1-2it)^{-1/2}$ となる。これは $\chi_1^2$ の特性函数であることから確率測度のFourier変換 - らんだむな記憶で触れたLévy の反転公式により $Z^2$ が従う確率分布は $\chi_1^2$ であるということになる。
