大分終盤であるので、ここで [1] p.201, [2] p.114 を眺める。標本平均の分布を考えるにあたって母分散が未知の場合に t 分布が登場する。$X_1, \cdots, X_n \sim N(\mu,\sigma^2)$ i.i.d. とする。この時、統計量 $\frac{\bar{X} -\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ …

次に確率変数の和に関連して分布の再生性について扱う。[3] p.73 の命題 4.20 を利用することになる。 $X,Y$ を独立な確率変数とする時 $Z = X+Y$ とおくと \begin{align} E[\exp(it Z)] = E[\exp(it (X+Y))] = E[\exp(it X)] E[\exp(it Y)] \end{align}とな…

不偏分散 $s^2$ が従う確率分布はカイ 2 乗分布になるので、それを見るための準備をする。このために [3] p.45 の命題 3.15 を利用する。確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従う時 $Z^2$ が自由度 1 のカイ 2 乗分布 $\chi_1^2$ に従うという主張であ…