$\mathbf{C}/C$ という slice category と呼ばれるものを考える。スライスチーズ！
- objects: $f \in \mathbf{C} \,\,\,\text{s.t.}\,\, \mathrm{cod}(f) = C$
- arrows: $\mathbf{a}: f \to f^\prime$ は以下のような可換図式を満たすもの:
\begin{equation}
\begin{CD}
X @> a >> X^\prime \\
@V f VV \circlearrowright @VV f^\prime V \\
C @= C
\end{CD}
\end{equation}
arrow category の一種なので、 $\mathbf{a} = (a, 1_C),\ 1_f = (1_X, 1_C)$ と見たら良いだろう。
composite については、
\begin{equation}
\begin{CD}
X @> a >> X^\prime @> b >> X^{\prime\prime} \\
@V f VV \circlearrowright @VV f^\prime V \circlearrowright @VV f^{\prime\prime} V \\
C @= C @= C
\end{CD}
\end{equation}
なので、 $\mathbf{a} = (a, 1_C), \mathbf{b} = (b, 1_C)$ に対して $\mathbf{b} \circ \mathbf{a} = (b \circ a, 1_C)$ となる。
●functor $U$
functor $U: \mathbf{C}/C \to \mathbf{C}$ が考えられる。 arrow category で言う functor $\mathrm{dom}$ である。
- $\mathbf{C}/C \ni f \mapsto \mathrm{dom}(f) \in \mathbf{C}$
- $\mathbf{C}/C \ni \mathbf{a} \mapsto a \in \mathbf{C}$
さて、ちょっと規模の大きい世界観のものを考える。
●composition functor
$g: C \to D$ をとる。 a composition functor
\begin{equation}g_*: \mathbf{C}/C \to \mathbf{C}/D
\end{equation}
を、 $g_*(f) = g \circ f$ で定める。
\begin{equation}
\begin{CD}
X @= X \\
@V f VV \circlearrowright @VV g_*(f) \,=\, g\,\circ\, f V \\
C @>> g > D
\end{CD}
\end{equation}
この構成自体が a functor
\begin{equation}
\mathbf{C}/(-): \mathbf{C} \to \mathbf{Cat}
\end{equation}
だとある。これを見るにも $\mathbf{C}/(-)$ だとややこしいので一時的に alias $\mathfrak{F} = \mathbf{C}/(-)$ を用意する。
- $\mathbf{C} \ni C \mapsto \mathbf{C}/C \in \mathbf{Cat}$
- $\mathbf{C} \ni g \mapsto g_* \in \mathbf{Cat},\,\,\,\text{for}\,\,\, g: C \to D$
とする。
(a) $\mathfrak{F}(g: C \to D) = g_*: \mathbf{C}/C \to \mathbf{C}/D = g_*: \mathfrak{F}(C) \to \mathfrak{F}(D)$
(b) $\mathfrak{F}(1_C) = (1_C)_* = 1_C \,\circ = 1_{\mathbf{C}/C} = 1_{\mathfrak{F}(C)}$
(c) $\mathfrak{F}(h \circ g) = (h \circ g)_* = (h \circ g) \,\circ = h \circ (g \circ (\cdot)) = \mathfrak{F}(h) \circ \mathfrak{F}(g)$
\begin{equation}
\begin{CD}
X @= X @= X \\
@V f VV \circlearrowright @VV g_*(f) V \circlearrowright @VV h_*(g_*(f)) \,=\, (h\,\circ\, g)\,\circ\, f V \\
C @>> g > D @>> h > E
\end{CD}
\end{equation}
ということで、確かに、 $\mathfrak{F} = \mathbf{C}/(-)$ は functor になっている。
圏論(14)と Cayley 表現 - らんだむな記憶で触れた Cayley 表現と比べて、 $\mathbf{C}/(-)$ は $\mathbf{C}$ の「集合と函数の category」ではなく「categories と functors の category」における ``表現'' を与えていると記載されている。
もともと、Theorem 1.6. は arrows が集合をなす場合に簡潔な表現を与えていたもので、arrows が集合をなさないとすると、クラス？とかの概念をもにょもにょ持ち出さないと言明できない状態にあるように思う。上記ではごく一般の category について、ここまでででてきた概念だけで $\mathbf{Cat}$ の中での ``表現'' を与えている感じだろうか。どうもそろそろややこしくなってきて、すっきり分かっている状態ではない。
締めくくりに
勿論、category をその下にある objects の集合に落とし込む忘却函手(forgetful functor) $U: \mathbf{Cat} \to \mathbf{Sets}$ を考慮することで得られるものが Cayley 表現であるに過ぎない。
とあるが... forgetful functor の定義がここまでに出てきていないように思うし... これは小さな圏(small categories)の場合に考えられることのような気も...。一般の category の objects や arrows は集合かどうか分からないし。なるほど、Mac Lane本では小さな集合ベースで小さな圏とかしか扱わないようにしているから、 $\mathbf{Cat}$ も小さな圏を objects にしているし、こういう時に色々ごちゃごちゃ考えなくて済むのか！代わりに、ZFC + αの公理系にしとかないと舞台を支えるユニバースの存在が保証できないわけだが...。
Forgetful functor - Wikipediaもついでに見るなら、$\mathbf{C} \to \mathbf{Cat}$ で ``表現'' した後、集合以外の構造を忘れることで Cayley 表現を得るということかな？ $\mathbf{C} \to \mathbf{Sets}$ じゃないとうまく忘却函手が定義できないような...。
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あまりうまく式で書けないけど、圏の構造を忘れてしまうと、$\mathbf{C}/C$ は $\bar{C}$ になるから Cayler 表現になるでしょ？ということのようだ。つまり、以下のような図になると主張していると思われる。
\begin{equation}
\begin{CD}
C @> g >> D @> h >> E \\
@V \mathbf{C}/(-) VV @VV V @VV V \\
\mathbf{C}/C @> g_* >> \mathbf{C}/C @> h_* >> \mathbf{C}/E \\
@V U VV @VV V @VV V \\
\bar{C}@> \bar{g} >> \bar{D} @> \bar{h} >> \bar{E}
\end{CD}
\end{equation}
