Example 1.8.
Definition
集合 $A$ においてある $a \in A$ を区別する時、$(A,a)$ を基点付き集合 (pointed set) と呼ぶ。
基点付き集合を objects とし、基点を保持するような写像 $f: (A,a) \to (B,b),\ f(a) = b$ を arrows とするような category を $\mathbf{Sets}_*$ と書く。
Proposition
\begin{equation}
\mathbf{Sets}_* \cong 1/\mathbf{Sets}
\end{equation}
ここで $1$ は任意にとったシングルトン $1 = \{ * \}$ である。
proof
$1/\mathbf{Sets}$ について、objects は $\mathrm{dom}(a) = 1$ となる $\mathbf{Sets}$ の arrow 即ち普通の意味での写像であるが、1点集合からの像を考えると、 $\mathbf{a}: 1 \to A$ は $\mathbf{a}(*) = a \in A$ を導くことになる。
従って、 $\mathbf{Sets}_*$ での arrow $f: (A,a) \to (B,b)$ は以下の可換図式で表される:
\begin{equation}
\begin{CD}
1 @> \mathbf{a} >> A \\
@| \circlearrowright @VV f V \\
1 @>> \mathbf{b} > B
\end{CD}
\end{equation}
●functor $F: \mathbf{Sets}_* \to 1/\mathbf{Sets}$
- objects: $(A,a) \to [\mathbf{a}: 1 \to A \,\,\,\text{s.t.}\,\, \mathbf{a}(*) = a]$
- arrows: $[f: A \to B, \,\,\,\text{s.t.}\,\, f(a) = b] \to f$
で functor $F$ を定めると、これは covariant functor になっている。
●functor $G: 1/\mathbf{Sets} \to \mathbf{Sets}_*$
functor $F$ を反転して得られる covariant functor である。
$G \circ F$ および $F \circ G$ は共に identity functors である。${}_\blacksquare$
