opposite category (逆圏)。どうももやもやするのでもう少し試行錯誤したい。
実に純粋な定義上は圏論(16) - らんだむな記憶で触れたように、 arrows の domain と codomain をひっくり返します。以上！なんだと思う。
Opposite category - Wikipedia, the free encyclopediaにも同様の定義が載っている。
conceptual にはまぁこれでもいいと思うのだが、どうももやっとする部分がある。
Amazon.co.jp： Basic Noncommutative Geometry (Ems Series of Lectures in Mathematics): Masoud Khalkhali: 洋書では、 $\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}^\mathrm{op}}(X,Y) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(Y,X)$ などと書いている。クラス？としては同じだよとは言っているけど具体的には対応関係を書いていない。つまり、domain と codomain を反転させたものだよ、ということさえ言っていない。
次に Mac Lane本の定義を見たい。なんとなく分かりやすいように感じた。
さらに各圏 $\mathbf{C}$ について逆 (opposite) 圏 $\mathbf{C}^\mathrm{op}$ を割り当てる。 $\mathbf{C}^\mathrm{op}$ の対象は $\mathbf{C}$ の対象であり、 $\mathbf{C}^\mathrm{op}$ の射は射 $f^\mathrm{op}$ である。これは $\mathbf{C}$ の射 $f$ との一対一対応 $f \mapsto f^\mathrm{op}$ による。 $\mathbf{C}$ の各射 $f: a \to b$ について、対応する $f^\mathrm{op}$ のドメインとコドメインは $f^\mathrm{op}: b \to a$ (向きが逆) になる。合成射 $f^\mathrm{op} g^\mathrm{op} = (gf)^\mathrm{op}$ が $\mathbf{C}^\mathrm{op}$ で定義されるのは、ちょうど合成 $gf$ が $\mathbf{C}$ で定義されるときである。これより明らかに $\mathbf{C}^\mathrm{op}$ は圏になる。
ここで $f$ と $f^\mathrm{op}$ の関係について domain と codomain を形式的に反対にしたとするのではなく、一対一対応で対応するもの同士という関係で定めているのが柔軟性を感じる。
非可換幾何とGelfand duality(2) - らんだむな記憶で触れた opposite category の場合、実装としては単に arrows の domain と codomain を反転させたものを使っているのではなく、一対一関係にある arrow をもって構築される category *1との間に antiequivalence (opposite category との間の equivalence) を主張している。
別のもっともっと簡単な例を見よう。
Hilbert空間のなす category というものを考える。標準的なものかはしらないけど、以下のように定める。
Definition (ここだけのね)
Hilbert空間の category $\mathbf{HilSp}$ とは以下をデータに持つ category とする:
- objects: Hilbert空間 $\mathfrak{X},\mathfrak{Y},\mathfrak{Z}, \cdots$
- arrows: $T: \mathfrak{X} \to \mathfrak{Y} \iff T \in \mathfrak{B}(\mathfrak{X},\mathfrak{Y})$
ここで、 $\mathfrak{B}(\mathfrak{X},\mathfrak{Y})$ は $\mathfrak{X}$ から $\mathfrak{Y}$ への有界線型作用素全体のなす集合である。
Proposition
\begin{equation}
\mathbf{HilSp} \cong \mathbf{HilSp}^\mathrm{op}
\end{equation}
proof
標準的な共役作用素の議論により、 $T \in \mathfrak{B}(\mathfrak{X},\mathfrak{Y})$ に対して、
\begin{equation}
(Tx \,|\, y) = (x \,|\, T^* y),\ x \in \mathfrak{X},\ y \in \mathfrak{Y}
\end{equation}
を満たす共役作用素 $T^* \in \mathfrak{B}(\mathfrak{Y},\mathfrak{X})$ が定まる。これにより、以下の対応が構成される:
\begin{equation}
\begin{CD}
\mathfrak{X} @> S >> \mathfrak{Y} @> T >> \mathfrak{Z} \\
@V F VV @VV F V @VV F V \\
\mathfrak{X} @<< S^* < \mathfrak{Y} @<< T^* < \mathfrak{Z}
\end{CD}
\end{equation}
ここで (contravariant) functor $F$ は以下のようなものである:
- $F(\mathfrak{X}) = \mathfrak{X}$
(a) $F(T: \mathfrak{X} \to \mathfrak{Y}) = F(T) = T^*: \mathfrak{Y} \to \mathfrak{X}$
(b) $F(1_\mathfrak{X}) = F(I_\mathfrak{X}) = I_\mathfrak{X}^* = I_\mathfrak{X} = 1_{F(\mathfrak{X})}$
(c) $F(T \circ S) = (T \circ S)^* = S^* \circ T^* = F(S) \circ F(T)$
逆方向の contravariant functor $G$ も同様に構成され、 $(T^*)^* = T$ により、 $G \circ F = 1_\mathbf{HilSp}$ および $F \circ G = 1_{\mathbf{HilSp}^\mathrm{op}}$ が従う。${}_\blacksquare$
$T^*$ は単に $T$ の domain と codomain を入れ替えた存在ではなく、まったくもって別の存在である*2。しかし、$T$ と一対一に対応している。よって、Mac Lane本の定義だと、しっくり来るように思う。
この種のお悩みはやはり見つかるもので、category theory - Maps in Opposite Categories - Mathematics Stack Exchangeにある。環の圏 $\mathbf{Rng}$ を考えた時に (自然な) 環準同型写像 $\Z \to \Z/2\Z$ の opposite とはなんぞ？ということが書かれている。なんか英語が多くて読んでいて疲れてきた。別に具体的に集合や函数を考えているわけではないので、という感じのコメントが多い。
あとは functor の定義を covariant functor だとか contravariant functor だとか分けずに、 opposite category を用いて covariant functor に吸収できるという意見。
これらを踏まえると、段々以下のようなことか？と思えてきた。
\begin{equation}
\begin{CD}
\mathfrak{X} @> S >> \mathfrak{Y} @> T >> \mathfrak{Z} @. : \mathbf{HilSp} \\
@V F VV @VV F V @VV F V @. \\
\mathfrak{X} @<< S^* < \mathfrak{Y} @<< T^* < \mathfrak{Z} @. : \mathbf{HilSp}
\end{CD}
\end{equation}
の下の列に opposite category の概念を適用すると...
\begin{equation}
\begin{CD}
\mathfrak{X} @> S >> \mathfrak{Y} @> T >> \mathfrak{Z} @. : \mathbf{HilSp} \\
@V \widetilde{F} VV @VV \widetilde{F} V @VV \widetilde{F} V @. \\
\mathfrak{X} @>> (S^*)^\mathrm{op} > \mathfrak{Y} @>> (T^*)^\mathrm{op} > \mathfrak{Z} @. : \mathbf{HilSp}^\mathrm{op}
\end{CD}
\end{equation}
どうだ、functor が covariant だけで済むだろう？とな。非常に抽象的な層で概念の節約等々のために opposite category なる概念が存在しているような気がしてきた。
