Mac Lane本をぱらぱら捲ると「第XII章 圏の中の構造」にまで至ると(至ってしまえたならば)、ボロノイ図 - らんだむな記憶やČech複体のフィルトレーション - らんだむな記憶で触れた「脈体(nerve)」というものに再び遭遇することができる。「圏の脈体」！？
...まぁ、そんな恐ろしいことは考えずに、Awodey本では大分後のほうに出てくる自然変換(Natural transformation)を先取りしたいと思うところだが、これもまた大変な代物である。ということで、定義だけ貼り付けて一旦Mac Lane本から帰還することにする。無理だ、これゎ...
Awodey本の風味に合わせたい部分もあるので、記号をにょろりとかえておく。
Definition
$\mathbf{C},\mathbf{D}$ を categories とする。$S,T: \mathbf{C} \to \mathbf{D}$ を2つの functors とする。この時、
(1)自然変換(natural transformation) $\tau: S \naturalto T$ とはある写像のことである。*1
(2)その写像は、 $$\mathrm{Ob}(\mathbf{C}) \ni c \rightsquigarrow \text{an arrow } \tau_c = \tau c \in \mathrm{Hom}_\mathbf{D}(Sc,Tc)$$
を割り当てるようなものであって、以下のような性質を持つものである:
(3)その性質とは 任意の $\mathbf{C} \ni f:c \to c^\prime$ に対して、以下のような可換図式が成立するというものである:
\begin{equation} \begin{CD} c @. Sc @> \tau c >> Tc \\ @VV f V \hspace{1em}\overset{S,T}{\rightsquigarrow}\hspace{1em} @V Sf VV \circlearrowright @VV Tf V \\ c^\prime @. Sc^\prime @>> \tau c^\prime > Tc^\prime \end{CD} \end{equation}
これが成立するとき、 $\tau_c: Sc \to Tc$ は $c$ において自然(natural) であるとも言う。
――― う～～～ん。なんのこっちゃい！？という気分なので一旦これくらいにしよう。 functors の間のスライドを与えているように見えるな。
*1:矢印の上に点が乗っているのはインクの飛沫かと思ったがそうではないらしい。math mode - Arrow accented with a dot (natural transformation) - TeX - LaTeX Stack Exchangeで頑張っているようなのだが、どれもMathJaxでは動かない。仕方ないのでベタだが {\\,\\,\\rightarrow^{\\!\\!\\!\\! .}\\,\\,} で定義した。なお、Awodey本では「A natural transformation is a morphism of functors.」という短い説明から始まる。また、矢印の上にドットはない。そこまで特別視していないようだ。
