Theorem 1.1.1 (Gelfand-Naimark Theorem)
任意の $C^*$ -代数 $A$ とスペクトル(指標のなす集合に汎弱位相を入れたもの) $\widehat{A}$ に対して、Gelfand 変換
\begin{equation}
\Gamma: A \to C_0(\widehat{A}),\hspace{1.5em} a \mapsto \widehat{a}
\end{equation}
は $C^*$ -代数同士の同型写像である ${}_\square$
デリケートな時代に発表された作用素環論の基本的で重要な定理である。非可換幾何とGelfand duality - らんだむな記憶で触れた(1.1)と(1.2)におけるcategoryの同等性を構築する上で中心的となる定理でもある。
(1.2)のほうが簡単なので同書ではまずこちらから解説が始まる。
$\mathcal{S}$ を以下の objects と arrows からなる category とする。
- objects: コンパクトHausdorff空間
- arrows: その間の連続写像
$\mathcal{C}$ を以下の objects と arrows からなる category とする。
- objects: 単位的可換 $C^*$ -代数
- arrows: その間の単位的可換 $C^*$ -準同型写像
この時、contravariant functors (反変函手)
\begin{equation}
\fbox{ $C: \mathcal{S} \to \mathcal{C} \hspace{1em}$ and $\hspace{1em} \widehat{\color{white}{x}}: \mathcal{C} \to \mathcal{S}$ }
\end{equation}
を定義したい。
\begin{equation}
\require{amscd}
\begin{CD}
\cdots @>>> X @> f >> Y @>>> Z @>>> \cdots \\
@VCVV @VCVV @VCVV @VCVV @VCVV \\
\cdots @<<< C(X) @<< f^* = C(f) < C(Y) @<<< C(Z) @<<< \cdots
\end{CD}
\end{equation}
※ 上の列はコンパクトHausdorff空間。下の列は単位的可換 $C^*$ -代数。
$X, Y$ をコンパクトHausdorff空間とする時、arrow $f: X \to Y$ は functor $C$ によって、
\begin{equation}
C(f) = f^* : C(Y) \to C(X), \hspace{1em} f^*(g) = g \circ f,\hspace{1em} g \in C(Y)
\end{equation}
にうつる。
一方、
\begin{equation}
\require{amscd}
\begin{CD}
\cdots @>>> \widehat{C} @>>> \widehat{B} @> \widehat{f} >> \widehat{A} @>>> \cdots \\
@A\widehat{\color{white}{x}}AA @A\widehat{\color{white}{x}}AA @A\widehat{\color{white}{x}}AA @A\widehat{\color{white}{x}}AA @A\widehat{\color{white}{x}}AA \\
\cdots @<<< C @<<< B @<< f < A @<<< \cdots
\end{CD}
\end{equation}
※ 上の列はコンパクトHausdorff空間。下の列は単位的可換 $C^*$ -代数。
$A, B$ を単位的可換 $C^*$ -代数とする時、arrow $f: A \to B$ は functor $\widehat{\color{white}{x}}$ によって、
\begin{equation}
\widehat{f}: \widehat{B} \to \widehat{A}, \hspace{1em} \widehat{f}(\chi) = \chi \circ \widehat{f},\hspace{1em} \chi \in \widehat{B}
\end{equation}
にうつる。
$C \circ \widehat{\color{white}{x}} \simeq 1_\mathcal{C},\hspace{1em} \widehat{\color{white}{x}} \circ C \simeq 1_\mathcal{S}$ が示せると、categories の同等性が示される。
要するに、$A \simeq C(\widehat{A}), \hspace{1em} X \simeq \widehat{C(X)}$ を示したいが、前者は Gelfand 変換を考えると、Gelfand-Naimark の定理より従いますよ、という内容。($\widehat{A}$はコンパクトなので、$C_0(\widehat{A}) = C(\widehat{A})$ となる)
こうして、幾何的で可換な世界と代数的で非可換な世界との間に橋がかかるようだ。
