Amazon.co.jp： 数理物理の固有値問題―離散スペクトル (1976年) (数理解析とその周辺〈15〉): 池部 晃生: 本をベースに。
舞台設定
舞台は$\Omega \subset \mathbb{R}^d$を滑らかな境界を持つ有界な開集合として、$\mathscr{H} = L^2(\Omega)$としたもの。更に、超函数の空間$\mathscr{D}(\Omega) = C_\mathrm{c}^\infty(\Omega)$も考える。
主役の$\mathscr{H}$の作用素として、
\begin{equation}
\begin{cases}
\mathcal{D}(H_0) = C_\mathrm{c}^\infty(\Omega), \\
H_0 u = - \Delta u,\ u \in \mathcal{D}(H_0) \hspace{5em} (1)
\end{cases}
\end{equation}
を考える。$\mathscr{H}$の内積を$(\cdot\,|\,\cdot)$としノルムを$\|\cdot\|$とする。
Greenの定理より$\Gamma = \partial\Omega$、$\Gamma$の外向き法線ベクトルを$\nu(x)$として、滑らかな$u, v$に対し
\begin{align}
\int_\Omega -\Delta u(x) \overline{v(x)} dx &= \int_\Gamma - \frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\overline{v(x)} d\Gamma + \int_\Omega \mathrm{grad}(u(x)) \cdot \overline{\mathrm{grad}(v(x))} dx \\
& = \int_\Gamma \left(- \frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\overline{v(x)} + u(x)\overline{\frac{\partial v}{\partial \nu}(x)} \right) d\Gamma + \int_\Omega u(x) \overline{(- \Delta v(x))} dx \hspace{2em} (2)
\end{align}
が成立する。特に、$u,\ v \in \mathcal{D}(H_0)$の時には、境界積分が消えて、
\begin{equation}
(H_0 u \,|\, v) = (u \,|\, H_0 v) \hspace{5em} (3)
\end{equation}
となるので、$H_0$は対称作用素である。
共役作用素
次に、$H_0$の共役作用素$H_0^*$とその定義域を見たい。いささか唐突に
\begin{equation}
\mathcal{D}_0^* := \{ u \in \mathscr{H};\ \text{weak derivative}\ \Delta u \in \mathscr{H} \} \hspace{5em} (4)
\end{equation}
なる部分空間を考える。唐突に出てくる場合は、その先で重要なものであることが示されるのはお約束であり、実際に$\mathcal{D}(H_0^*) = \mathcal{D}_0^*$であることが分かる。これを見てみよう。
● $\mathcal{D}_0^* \subset \mathcal{D}(H_0^*)$
$u \in \mathcal{D}(H_0),\ v \in \mathcal{D}_0^*$をとる。$u \in \mathscr{D}(\Omega)$でもあるので超函数の考えを踏まえつつ、
\begin{equation}
(H_0 u \,|\, v) = \overline{\langle - \Delta \overline{u},\, v \rangle} = \overline{\langle \overline{u},\, - \Delta v \rangle} = (u \,|\, - \Delta v) \hspace{5em} (5)
\end{equation}
を得る。よって、$\mathcal{D}_0^* \subset \mathcal{D}(H_0^*)$であることが分かる。また、$H_0^* |_{\mathcal{D}_0^*} = - \Delta$(弱微分)である。
● $\mathcal{D}(H_0^*) \subset \mathcal{D}_0^*$
$u \in \mathcal{D}(H_0),\ v \in \mathcal{D}(H_0^*)$をとる。
\begin{equation}
\langle \overline{u},\, H_0^* v \rangle = \overline{(u \,|\, H_0^* v)} = \overline{(H_0 u \,|\, v)} = \langle - \Delta \overline{u},\, v \rangle = \langle \overline{u},\, - \Delta v \rangle \hspace{5em} (6)
\end{equation}
であるので、超函数(弱導函数)の意味で$- \Delta v = H_0^* v$であり、これが定義より$\mathscr{H}$に属することになる。
以上より、$\mathcal{D}(H_0^*) = \mathcal{D}_0^*$が分かった。明らかに$\mathcal{D}(H_0) \subsetneq \mathcal{D}(H_0^*)$なので、$H_0$は自己共役ではない。
自己共役実現
$u \in \mathcal{D}(H_0)$とする時、Greenの定理(2)により、
\begin{equation}
(H_0 u \,|\, u) = (- \Delta u \,|\, u) = \int_\Omega |\mathrm{grad}(u(x))|^2 dx \ge 0 \hspace{5em} (7)
\end{equation}
を得る。よって、$H_0$は下に半有界である。このことからFriedrichs-Freudenthalの定理により$H_0$は自己共役な拡張$\widetilde{H_0}$ (Friedrichs extension)を持つ。特に、
\begin{equation}
\begin{cases}
\mathcal{D}(\widetilde{H_0}) = \mathring{H^1}(\Omega) \cap \{ u \in \mathscr{H};\ \Delta u \in \mathscr{H} \}\ (\text{or}\ \mathring{H^1}(\Omega) \cap H^2(\Omega)\ \text{because of smooth boundary}) \\
\widetilde{H_0} u = - \Delta u,\ u \in \mathcal{D}(\widetilde{H_0}) \hspace{10em} (8)
\end{cases}
\end{equation}
となる。
一般に$H_0$の対称閉拡張$H_1$があるとして、$H_0$の閉包$\overline{H_0}$を含め、
\begin{equation}
H_0 \subset \overline{H_0} \subset H_1 \subset H_1^* \subset H_0^* \hspace{5em} (9)
\end{equation}
という関係がある。$\overline{H_0}$に対しては、Reed-Simon vol.2 p.141 Corより
(a) $\overline{H_0}$は自己共役である。($H_0$は本質的に自己共役)
(b) $\overline{H_0}$は自己共役な拡張を(いくつか)持つ。
(c) $\overline{H_0}$は自己共役な拡張を持たない。
の可能性がある。今回、Friedrichs-Freudenthalの定理により(a)か(b)ということになる。実際には$\Omega$の有界性により(b)のケースである。($\Omega = \mathbb{R}^d$ならFourier変換の理論より(a)であることが分かる)
(2)と(9)を併せて考えると、徐々に条件を加えて$H_0$を拡張すると、ある拡張$H_1$でついに$H_1$と$H_1^*$の差が埋まって$H_1 = H_1^*$となる、特にこの時、(2)の境界積分が消失するということが分かる。
つまり何らかの境界条件を付与していくことで、境界積分が消滅して自己共役作用素が得られることになる。
$\Omega = \mathbb{R}^d$の場合には、$L^2$性から無限遠で減衰しておりそれが境界条件の役割を果たすため、余分な境界条件を付与せずともただ閉包をとるだけで自己共役実現できると考えられよう。
境界条件
● Dirichlet境界条件
\begin{equation}
\begin{cases}
\mathcal{D}(H_1) = \{ u \in H^1(\Omega);\ (u \,|\, v) + \sum_{j=1}^d (\frac{\partial u}{\partial x_j} \,|\, \frac{\partial v}{\partial x_j})= 0,\ v \in H^1(\Omega) \cap \{ v;\ \Delta v \in \mathscr{H} \} \} \\
H_1 u = - \Delta u,\ u \in \mathcal{D}(H_1) \hspace{10em} (10)
\end{cases}
\end{equation}
● Neumann境界条件
\begin{equation}
\begin{cases}
\mathcal{D}(H_2) = \{ u \in H^1(\Omega) \cap \{u;\ \Delta u \in \mathscr{H} \};\ (\Delta u \,|\, v) + \sum_{j=1}^d (\frac{\partial u}{\partial x_j} \,|\, \frac{\partial v}{\partial x_j})= 0,\ v \in H^1(\Omega) \} \\
H_2 u = - \Delta u,\ u \in \mathcal{D}(H_2) \hspace{10em} (11)
\end{cases}
\end{equation}
これらは共に$H_0$の自己共役実現であることが同書で示されている。また、その際に$\widetilde{H_0} = H_1$が示されている。( (8) = (10) )
要するに、物理的に意味のある作用素のうち、Friedrichs extensionによるdistinguished self-adjoint extensionとしてはDirichlet境界条件由来のものが選ばれるという内容だ。
同様の内容が、楕円型・放物型偏微分方程式 | 村田 實, 倉田 和浩 | 本 | Amazon.co.jpの§2.7(b) pp.127-128にもある。
駄文
本質的自己共役性が成立しない場合にはFriedrichs extensionを正統な自己共役実現として採用すれば良いのかな？という思いもあったが、Neumann境界条件よりもDirichlet境界条件のほうが正統なのか？と問われるとそんな気もしないし、非常にもやもやする選別になるなと思う。
微細構造定数 - らんだむな記憶に記載したように、Dirac作用素の場合だと、原子番号118より大きくなると本質的自己共役性が成立しなくなってくるので、そこから先の世界が少し気になってしまう。これだっ！っていう自己共役実現がただ1つに定まるのなら良いのだけどね。
―――――・・・
Greenの定理(2)で境界積分が消えるような境界条件から自己共役実現が見つかるということであれば、第3種境界条件
\begin{equation}
\alpha u + (1 - \alpha) \frac{\partial u}{\partial \nu} = 0,\ 0 < \alpha < 1
\end{equation}
からも自己共役実現が得られるだろうな。$\alpha$を動かすことで無限の自己共役実現が得られそうだ。
似たような話題はReed-Simon vol.1 p.259にも載っている。
