量子力学の数学的基礎によると、物理量はHilbert空間$\mathscr{H}$の自己共役作用素$H$で表現される。
$H$としてHamiltonianを考える。
$\mathbb{R} \ni t \mapsto u(t) \in \mathscr{H}$として
\begin{equation}
i \frac{\partial}{\partial t} u(t) = H u(t)
\end{equation}
という形に。$u(0) = u_0 \in \mathscr{H}$として、解は$u(t) = \exp(- i t H) u_0$で与えられる。(解の存在)
ここで、他の解$v(t) \in \mathscr{H}$があるとする。$\psi(t) = u(t) - v(t)$とおく。
$\psi$は$\psi(0) = u(0) - v(0) = u_0 - u_0 = 0$なので、初期値0に対する解となる。
$H$は自己共役なので、
\begin{align}
i \frac{d}{d t} (\psi(t) \,|\, \psi(t)) &= (i \frac{d}{d t} \psi(t) \,|\, \psi(t)) - (\psi(t) \,|\, i \frac{d}{d t} \psi(t)) \\
& = (H \psi(t) \,|\, \psi(t)) - (\psi(t) \,|\, H \psi(t)) = 0
\end{align}
となる。よって、$\| \psi(t) \| = \mathrm{const.}$であるが、$t = 0$をとって、$\| \psi(t) \| = \| \psi(0) \| = 0$を得る。存在確率の保存である。このことから、$u(t) = v(t)$、つまり解の一意性が従う。
さて、$H$が固有値$\lambda \in \mathbb{R}$を持つとして、その固有ベクトルを$u_{\lambda} \in \mathscr{H}$とする。
$u (t) = u_{\lambda}$とするSchrödinger方程式の解は$u(t) = \exp(- i t H) u_{\lambda}$となる。
ここで、
\begin{align}
i \frac{\partial}{\partial t} u(t) &= i \frac{\partial}{\partial t} \exp(- i t H) u_{\lambda} \\
& = H \exp(- i t H) u_{\lambda} = \exp(- i t H) H u_{\lambda} = \lambda \exp(- i t H) u_{\lambda} = \lambda u(t)
\end{align}
であることが分かる。
すると、$u(t) = \exp(- i \lambda t) u_{\lambda}$を得るが、解の一意性により、$\exp(- i t H) u_{\lambda} = \exp(- i \lambda t) u_{\lambda}$であることが分かる。絶対値が1のスカラー倍しか異ならない波動函数の場合、同じ状態と表すと考えるので、固有状態は時間発展しても同じ固有値に属する固有状態のままであることになる。特に、固有状態の場合だと$\|u(t)\| = \| u_{\lambda} \|$を図示してもずっと同じ形になることになる。
...というメモを書いておく。
