次に確率変数の和に関連して分布の再生性について扱う。[3] p.73 の命題 4.20 を利用することになる。
$X,Y$ を独立な確率変数とする時 $Z = X+Y$ とおくと
\begin{align}
E[\exp(it Z)] = E[\exp(it (X+Y))] = E[\exp(it X)] E[\exp(it Y)]
\end{align}
となるので、$Z$ の特性函数を求め、再びLévy の反転公式から $Z$ が従う確率分布を求める。ここでは t 分布のみに関心があるため正規分布とカイ 2 乗分布の場合のみ扱う。
●正規分布の場合
$X \sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$, $Y \sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ とする。ここでガウス核の Fourier 変換について $a > 0$ の時 $\F (\exp (- \frac{ax^2}{2})) = \frac{1}{\sqrt{a}} \exp (- \frac{\xi^2}{2a})$ であるので $y = x - \mu_1$ とおいて、
\begin{align}
E[\exp(it X)] &= \int_{\R^1} \exp(itx) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} \exp \left( - \frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2} \right) dx \\
&= \frac{\exp(it\mu_1)}{\sigma_1} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int \exp(ity) \exp \left( - \frac{y^2}{2\sigma_1^2} \right) dy \\
&= \frac{\exp(it\mu_1)}{\sigma_1} \sigma_1 \exp \left(- \frac{\sigma_1^2 t^2}{2} \right) = \exp \left (it\mu_1 - \frac{\sigma_1^2 t^2}{2} \right)
\end{align}
を得る。これを用いると
\begin{align}
E[\exp(it X)] E[\exp(it Y)] &= \exp \left (it\mu_1 - \frac{\sigma_1^2 t^2}{2} \right) \exp \left (it\mu_2 - \frac{\sigma_2^2 t^2}{2} \right) \\
&= \exp \left (it(\mu_1+\mu_2) - \frac{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2) t^2}{2} \right)
\end{align}
を得るが、これは $N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$ の特性函数であるので、Lévy の反転公式により $Z \sim N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$ となる。
●カイ 2 乗分布の場合
自由度 $n$ のカイ 2 乗分布の特性函数は $(1-2it)^{-n/2}$ である。よって、 $X \sim \chi_m^2$, $Y \sim \chi_n^2$ とした時 $Z = X+Y$ に関して
\begin{align}
E[\exp(it X)] E[\exp(it Y)] = (1-2it)^{-m/2} (1-2it)^{-n/2} =(1-2it)^{-(m+n)/2}
\end{align}
であるので、$Z \sim \chi_{m+n}^2$ となる。
