関数解析―その理論と応用に向けて p.165に $f \in C([0,1])$ に対する境界値問題
\begin{equation}
\begin{cases}
-u^{\prime\prime} + u = f,\quad\quad x \in [0,1], \\
u(0) = u(1) = 0
\end{cases}
\end{equation}
がとりあげられている。これは「大変単純な計算による陽的に解ける」(珍しい日本語・・・)とのことだが、Lax-Milgram の定理での解法が説明されている。大変単純かと言われると疑問だが、折角なので Green 函数を用いて陽的に解いてみたい。積分方程式論 (岩波全書 117) p.66〜の議論をそのまま使いたい。
細部をすっとばすと、p.71にあるように $L_x = - \frac{d^2}{dx^2} + 1$ と置くとして
\begin{equation}
\begin{cases}
L_x(u_1) = 0, \quad\quad\quad\quad\quad (1) \\
u_1(0) = 0
\end{cases}
\end{equation}
と
\begin{equation}
\begin{cases}
L_x(u_2) = 0, \quad\quad\quad\quad\quad (2) \\
u_2(1) = 0
\end{cases}
\end{equation}
を解いて、その解同士を組み合わせてGreen函数を作ることになる。
上記の方程式の解の形は大体見当がつくのだが、ここでは簡単な計算を通してあたりをつけたい。
$L_x(u) = 0$ について
\begin{equation}
u^{\prime\prime} = u
\end{equation}
と移項して、両辺に $u^\prime$ を掛けて積分をすることで
\begin{equation}
(u^\prime)^2 = u^2 + C
\end{equation}
を得る。ここから
\begin{equation}
\int \frac{du}{\sqrt{u^2 + C}} = \pm \int dx
\end{equation}
を得るが、左辺は具体的に $\log (u + \sqrt{u^2 + C})$ と解けるので、結局
\begin{equation}
u(x) = \frac{1}{2}\left( e^{\pm x} + C e^{\mp x} \right)
\end{equation}
のような解が見つかる。これを踏まえると、(1)と(2)の解は例えば
\begin{equation}
u_1(x) = \frac{1}{2}\left( e^x - e^{-x}\right),\quad u_2(x) = \frac{1}{2}\left( e^{x-1} - e^{-(x-1)}\right)
\end{equation}
がとれることが分かる。
