On smoothing property of Schrödinger propagators - Springerの谷島先生の論文のプレビューを見ると、Schrödinger作用素の平滑化効果については、またもや加藤先生の論文に始まるのかという感じの内容が見られる。
EUDML | Wave Operators and Similarity for Some Non-selfadjoint Operators.←たぶんこれ？
\begin{equation}
u \in L^2(\mathbb{R}^d),\quad e^{i t \Delta}u \in L^2(\mathbb{R}^d) \cap L^p(\mathbb{R}^d),\quad 2 \le p \le \frac{2d}{d - 2},\quad a.e.t \in \mathbb{R}^1
\end{equation}
という意味で初期函数より滑らかさがあがる、というもののようだ。
この周辺の話はCazenave氏の本Amazon.co.jp： Semilinear Schrodinger Equations (Courant Lecture Notes): Thierry Cazenave: 洋書(買うだけ買ってロクに読んでいないが)の2.3. Strichartz's Estimatesの辺りに書いてある。特に上記式はTheorem 2.3.3 内の式(2.3.3)からの帰結のようだ。p.41から平滑化効果の話題が始まる。
誰の本か忘れたが「ストリッカーツ評価」云々で語っている和書で関連する話題を書いている本だったか文章があった気がするが完全に失念して思い出せない。
平滑化効果を持つというなかなか熱方程式のような面白味のある方程式である。加えて、
\begin{equation}
\begin{cases}
i \frac{\partial}{\partial t} \psi(t) = - \Delta \psi(t) + q(x) \psi(t) =: H \psi(t), \\
\psi(0) = \psi_0
\end{cases}
\end{equation}
を解くと、
\begin{equation}
\psi(t) = e^{-i t H} \psi_0
\end{equation}
となることから、
\begin{equation}
\| \psi(t) \| = \| \psi_0 \| = 1, \quad t \in \mathbb{R}^d
\end{equation}
となって、保存則がはたらくことが興味深い。
さて、$\psi(t) = u(t) + i v(t)$というように実部と虚部にわけると、
\begin{equation}
\begin{cases}
- \frac{\partial}{\partial t} v(t) = - \Delta u(t) + q(x) u(t), \\
\frac{\partial}{\partial t} u(t) = - \Delta v(t) + q(x) v(t)
\end{cases}
\end{equation}
となる。熱方程式の時と同じ要領で数値解析できないかな？と期待してしまう。
結果を$|\psi(t)|^2 = |u(t)|^2 + |v(t)|^2$についてplotすると、粒子の存在確率が保存される形で運動する様子が見られるといいな。平滑化効果的なものは流石に数値解析では見えないだろうけど、そちらは心の目で。
