圏論(1) - らんだむな記憶でふれた category の定義と
圏論(21)と arrows-only metacategory - らんだむな記憶でふれた arrows-only metacategory の定義の同値性を見る。
圏論(20) - らんだむな記憶でふれたことも重要になる。category の意味での identity arrow は object に対して存在して一意に定まるということである。Mac Lane本では category の意味での object $b$ をとる時、その identity arrow $1_b$ を $b$ 自身と同一視して $b: b \to b$ と書くと便利である、とある。この場合、都合よく $1_b = b = \mathrm{id}_b$ と書けることになる。
category $\Rightarrow$ arrows-only metacategory
category の意味での arrows が arrows-only metacategory の意味での arrows の性質をすべて満たすことを見る。
- 合成可能対
これは $\mathrm{cod}(f) = \mathrm{dom}(g)$ を満たすようなペア $\{f,g\}$ のことである。
- 合成射
先のようなペア $\{f,g\}$ に対して、category の定義の意味で $g \circ f$ が存在する。
- 恒等射
arrow $f$ に対して、 $1_{\mathrm{cod}(f)}$ 、 arrow $g$ に対して $1_{\mathrm{dom}(g)}$ をとることで、arrows-only metacategory の意味での identity arrows を得る。
公理(i)～(iii)については、category の定義にある identity arrows の定義と結合則から従う。
arrows-only metacategory $\Rightarrow$ category
object の概念を追加する必要がある。arrows-only metacategory の意味での恒等射を object として見る。
- Objects: identity arrows $u,u^\prime,u^{\prime\prime},\cdots$
- Arrows: arrows-only metacategory の arrows $f,g,h,\cdots$
- 各 $f$ に対して $u^\prime \circ f = f,\ f \circ u =f$ となる (arrows-only metacategory の意味での) identity arrows $u,u^\prime$ が存在して一意にとれるが、これに対して、
$$ \mathrm{dom}(f) := u, \hspace{2em} \mathrm{cod}(f) := u^\prime $$
と置く。 $f: \mathrm{dom}(f) \to \mathrm{cod}(f)$ と書くこともできる。
- arrows $f,g$ が与えられて、 $\mathrm{cod}(f) = \mathrm{dom}(g)$ が成立しているとする。これを arrows-only metacategory の書き方で書くと、ある identity arrow $u$ に対して、 $u \circ f$ と $g \circ u$ が定義されている状態であるので、公理(ii)より triple composite $g \circ u \circ f$ が定義される。更に公理(i)より、 $g \circ u \circ f = g \circ (u \circ f) = g \circ f$ となるので、「$g \circ f$」が得られた。念のため、 $\mathrm{dom}(g \circ f) = \mathrm{dom}(f)$ を見る。このため、 $f \circ u = f$ を満たす identity arrow $u$ をとる。 $g \circ f$ と $f \circ u$ が定義されているので、triple composite を考えると $g \circ f \circ u = g \circ (f \circ u) = g \circ f$ を得る。よって、$(g \circ f) \circ u = g \circ f$ を得た。codomain についても同様である。
- identity arrow: object $u$ をとる。 $u$ に対して、arrows-only metacategory の意味で domain を与える identity arrow $u^\prime$ と codomain を与える $u^{\prime\prime}$ がとれる。この時、 $u \circ u^\prime = u$ である。ところで $u$ 自身 identity arrow であることから $u \circ u^\prime = u^\prime$ が従う。故に、$u = u^\prime$ を得る。同様に $u = u^{\prime\prime}$ を得る。このことは、 $\mathrm{dom}(u) = u,\ \mathrm{cod}(u) = u$ を意味する。つまり、 $u: u \to u$ と書けるわけだが、要するに object $u$ に対する category の意味での identity arrow $1_u$ は $u$ を arrow として解釈したものであることになる。
後は、これらについて結合則と単位則を確認すれば良い。
- 結合則: arrow $f,g,h$ をとる。ここで、 $\mathrm{cod}(f) = \mathrm{dom}(g),\ \mathrm{cod}(g) = \mathrm{dom}(h)$ であるとする。この時 $g \circ f,\ h \circ g$ が定義される。よって triple composite $hgf$ が定義され、これは $(h \circ g) \circ f$ と $h \circ (g \circ f)$ と一致する。
- 単位則: arrow $f$ をとり、 $\mathrm{dom}(f) = u, \mathrm{cod}(f) = u^\prime$ とする。この時、 $f \circ 1_u = f \circ u = f = u^\prime \circ f = 1_{u^\prime} \circ f$ である。
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以上で些か冗長になったが category と arrows-only metacategory が本質的には同等のものであることが分かった。(Cauchy) net と (Cauchy) filter の関係みたいなものである。
これを踏まえると、圏論(15)とスローガン - らんだむな記憶で触れたスローガン
本当に重要なのは arrowsだ！
が分かってくる。objects は identity arrows として吸収してしまうことで、arrows の概念だけで category が定義できるというわけだ。