slice category は arrow category において、 functor $\mathrm{cod}$ をベースに構成された。よって、 functor $\mathrm{dom}$ をベースに構成される双対的な category も考えられる。これを coslice category と呼ぶようだ。
一旦は slice category の時に書いた記事をコピペして coslice category のそれにする。
$C/\mathbf{C}$ という coslice category と呼ばれるものを考える。クラフト とろけるスライス！
- objects: $f \in \mathbf{C} \,\,\,\text{s.t.}\,\, \mathrm{dom}(f) = C$
- arrows: $\mathbf{a}: f \to f^\prime$ は以下のような可換図式を満たすもの:
\begin{equation}
\begin{CD}
C @= C \\
@V f VV \circlearrowright @VV f^\prime V \\
X @> a >> X^\prime
\end{CD}
\end{equation}
arrow category の一種なので、 $\mathbf{a} = (1_C, a),\ 1_f = (1_C, 1_X)$ と見たら良いだろう。
composite については、
\begin{equation}
\begin{CD}
C @= C @= C \\
@V f VV \circlearrowright @VV f^\prime V \circlearrowright @VV f^{\prime\prime} V \\
X @> a >> X^\prime @> b >> X^{\prime\prime}
\end{CD}
\end{equation}
なので、 $\mathbf{a} = (1_C, a), \mathbf{b} = (1_C, b)$ に対して $\mathbf{b} \circ \mathbf{a} = (1_C, b \circ a)$ となる。
●functor $U$
functor $U: C/\mathbf{C} \to \mathbf{C}$ が考えられる。 arrow category で言う functor $\mathrm{cod}$ である。
- $C/\mathbf{C} \ni f \mapsto \mathrm{cod}(f) \in \mathbf{C}$
- $C/\mathbf{C} \ni \mathbf{a} \mapsto a \in \mathbf{C}$
