arrows が集合をなす場合についての困った(？)定理。ここからcategoryの「大きさ」みたいなものが重要になってくるのか。
そういった category は ${\bf Sets}$ と同じじゃん、という定理。オリジナルのpdfにおける証明は sketch で大分ざくっと雰囲気だけを図で伝えていたが、よくよく考えると categories の isomorphism についても触れずにここに突入しているように見えたりするので、*1できるだけ補ってみた、つもり。*2
Theorem 1.6.
arrows の集合を持つようなすべての category $\bf{C}$ は objects が集合で arrows が写像であるような category と同型である。*3
Proof.
$\bf{C}$ の Cayley 表現 $\bar{\bf{C}}$ を以下のような具体的な category として定める:
- objects: 次のような形の集合*4
$$ \bar{C} = \{ f \in \mathbf{C} \,|\, \mathrm{cod}(f) = C \} \ \text{for all}\ C \in \mathbf{C} $$
- arrows: $g: C \to D \ \text{in} \ \mathbf{C}$ に対して写像
\begin{equation}
\bar{g}: \bar{C} \to \bar{D}, \hspace{1em} f \mapsto g \circ f \ \,\text{for}\ \, f: X \to C
\end{equation}
として定義されるようなもの。
1. $\bar{\bf{C}}$ が category であること。
$\bar{g}: \bar{C} \to \bar{D},\ \bar{h}: \bar{D} \to \bar{E},\ \bar{k}: \bar{E} \to \bar{F}$ とする。
- $\bar{C} \ni f: X \to C$ をとる。 $(\bar{h} \circ \bar{g})(f) = (h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f) = h \circ ( \bar{g}(f) ): X \to E$ によって $\bar{h} \circ \bar{g}: \bar{C} \to \bar{E}$ が定まる。
- $1_\bar{C}: f \mapsto 1_C \circ f = f$ によって、identity arrow が定まる。
- $(\bar{k} \circ (\bar{h} \circ \bar{g}))(f) = k \circ ((h \circ g) \circ f) = (k \circ h) \circ (g \circ f) = (\bar{k} \circ \bar{h})( \bar{g}(f) ) = ((\bar{k} \circ \bar{h}) \circ \bar{g})(f)$
- $(\bar{g} \circ 1_\bar{C})(f) = g \circ (1_C \circ f) = g \circ f = \bar{g}(f),\ (1_\bar{D} \circ \bar{g})(f) = 1_D \circ (g \circ f) = (1_D \circ g) \circ f = \bar{g}(f)$
2. $\mathbf{C} \cong \bar{\mathbf{C}}$ であること。
2.1 covariant functor (共変函手) $\mathcal{F}: \mathbf{C} \to \bar{\mathbf{C}}$
$\mathcal{F}$ を以下のように定める。
- objects: $\mathbf{C} \ni C \mapsto \bar{C} \in \bar{\mathbf{C}}$
- arrows: $\mathrm{Hom}_\mathbf{C}(C, D) \ni g \mapsto \bar{g} \in \mathrm{Hom}_\bar{\mathbf{C}}(\bar{C}, \bar{D})$
$\mathcal{F}$ が covariant functor であることを確認する。
- $\mathcal{F}(1_C) = \overline{1_C} = 1_\bar{C} = 1_{\mathcal{F}(C)}$
- $\mathcal{F}(h \circ g) = \bar{h} \circ \bar{g} = \mathcal{F}(h) \circ \mathcal{F}(g)$
2.2 covariant functor $\mathcal{G}: \bar{\mathbf{C}} \to \mathbf{C}$
$\mathcal{G}$ を以下のように定める。まず、記号として、 $\mathrm{cod}(\bar{C})$ を $f \in \bar{C}$ に対する $\mathrm{cod}(f)$ のこととする。これは $f$ によらないで定まる。
- objects: $\bar{\mathbf{C}} \ni \bar{C} \mapsto \mathrm{cod}(\bar{C}) \in \mathbf{C}$
- arrows: $\mathrm{Hom}_\bar{\mathbf{C}}(\bar{C}, \bar{D}) \ni \bar{g} \mapsto \bar{g}(1_C) \in \mathrm{Hom}_\mathbf{C}(C, D)$
$\mathcal{G}$ が covariant functor であることを確認する。
$f \in \bar{C}$ に対し、$\mathrm{cod}(\bar{C}) = C$ であることに注意する。
- $\mathcal{G}(1_\bar{C}) = 1_\bar{C}(1_C) = 1_C \circ 1_C = 1_C = 1_{\mathcal{G}(1_\bar{C})}$
- $\mathcal{G}(\bar{h} \circ \bar{g}) = (\bar{h} \circ \bar{g})(1_C) = h \circ (g \circ 1_C) = h \circ g = \bar{h}(1_C) \circ \bar{g}(1_C) = \mathcal{G}(\bar{h}) \circ \mathcal{G}(\bar{g})$
2.3 $\mathcal{F} \circ \mathcal{G} = 1_{\bar{\mathbf{C}}},\ \mathcal{G} \circ \mathcal{F} = 1_\mathbf{C}$
- $\bar{C} \in \bar{\mathbf{C}}$ をとる。 $(\mathcal{F} \circ \mathcal{G})(\bar{C}) = \mathcal{F}(\mathrm{cod}(\bar{C})) = \mathcal{F}(C) = \bar{C}$ また、 $\bar{g}: \bar{C} \to \bar{D},\ f: X \to C$ に対して、 $\mathcal{F} \circ \mathcal{G}(\bar{g})(f) = \mathcal{F}(\bar{g}(1_C))(f) = (g \circ 1_C) \circ f = g \circ f = \bar{g}(f)$ であるので、 $\mathcal{F} \circ \mathcal{G} = 1_{\bar{\mathbf{C}}}$ である。
- $C \in \mathbf{C}$ をとる。 $(\mathcal{G} \circ \mathcal{F})(C) = \mathcal{G}(\bar{C}) = \mathrm{cod}(\bar{C}) = C$ また $g: C \to D$ に対して $\mathcal{G} \circ \mathcal{F}(g) = \mathcal{G}(g \circ {}) = g \circ 1_C = g$ であるので、 $\mathcal{G} \circ \mathcal{F} = 1_\mathbf{C}$ である。
以上より、 $\mathbf{C} \cong \bar{\mathbf{C}}$ が示された。 ${}_\square$
