よー考えると、Forward Euler Methodのやり方を使って熱方程式(拡散方程式)
\begin{equation}
\begin{cases}
u(0, x) = u_0(x), \\
\frac{\partial}{\partial t} u(t,\ x) = \Delta u(t,\ x), \quad t \ge 0,\ x \in \mathbb{R}^2
\end{cases}
\end{equation}
は簡単に数値解析で解けそうだ。xy平面上に細かいメッシュを考えて、その上で離散Laplacianを考えたら多分良かろう。この差分方程式の解がメッシュサイズを小さくした場合に熱方程式の真の解に収束するかどうかとかの理論的なナニは知らんが...。
放物型方程式の平滑化効果を可視化するのは難しいかなぁ...。
数値解析でやるなら、領域も全平面じゃなくて、断熱材でもあちこち置いたかのように一般の自由な形状の領域$\ x \in \Omega \ $で見てみたい気もするな。
あぁぁ、面倒臭い。コーディングは嫌いだ。領域の境界が滑らかでない場合とかもなんかそれっぽい感じになるのかなぁ？
全平面でFourier変換で解いてばかりだから、初期値境界値問題とかロクに知らんゎ...。
あー、ダメだ。脳内コーディングしてみても、熱方程式の不可逆な特性が表現できる気がしない。初期値の台がコンパクトでも一瞬でも時間が進むと一気に崩れて無限遠まで値が到達する感じが数値計算で出る気がしないなぁ。なかなか難しそうだな。
