テンソルネットワークの進展 - 株式会社サイエンス社 株式会社新世社 株式会社数理工学社 pp.55-56 の辺りの読書メモ的なものを残す。
$\ket{\psi} = a \ket{0} + b \ket{1}$ をゲート $U$ でうつすことを考える。個々の Z-基底について $j \in \{0, 1\}$ として、
$$
\begin{align*}
\ket{j} \xrightarrow{U} \sum_{k=0}^1 u_{kj} \ket{k}
\end{align*}
$$
を考える。これは Z- 基底を横に並べると
$$
\begin{align*}
U \begin{bmatrix}
\ket{0} \;\; \ket{1}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\ket{0} \;\; \ket{1}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
u_{00} & u_{01} \\
u_{10} & u_{11}
\end{bmatrix}
\end{align*}
$$
と書ける。$U$ のユニタリ性より、“表現行列” もユニタリになるので、
$$
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
u_{00} & u_{01} \\
u_{10} & u_{11}
\end{bmatrix}^\dagger \begin{bmatrix}
u_{00} & u_{01} \\
u_{10} & u_{11}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\bar{u}_{00} & \bar{u}_{10} \\
\bar{u}_{01} & \bar{u}_{11}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
u_{00} & u_{01} \\
u_{10} & u_{11}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1& 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{align*}
$$
となる。よって、確率振幅の条件 $|u_{00}|^2 + |u_{10}|^2 = |u_{01}|^2 + |u_{11}|^2 = 1$ が自動的に満たされる。
同様の記法を用いて、2 量子ビットの場合にも $\ket{j_1} \otimes \ket{j_2} = \ket{j_1 j_2}$ をユニタリゲート $U \in \mathrm{Mat}(4;\C)$ でうつすことを考え、
$$
\begin{align*}
\ket{j_1 j_2} \xrightarrow{U} \sum_{k=0}^1 u_{k_1 k_2 j_1 j_2} \ket{k_1 k_2}
\end{align*}
$$
と書く。行列表示をすると
$$
\begin{align*}
U \begin{bmatrix}
\ket{00} \;\; \ket{01} \;\; \ket{10} \;\; \ket{11}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\ket{00} \;\; \ket{01} \;\; \ket{10} \;\; \ket{11}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
u_{0000} & u_{0001} & u_{0010} & u_{0011} \\
u_{0100} & u_{0101} & u_{0110} & u_{0111} \\
u_{1000} & u_{1001} & u_{1010} & u_{1011} \\
u_{1100} & u_{1101} & u_{1110} & u_{1111}
\end{bmatrix}
\end{align*}
$$
である。$U$ のユニタリ性により $\forall j_1,j_2$ について $\sum_{k_1,k_2=0}^1 |u_{k_1 k_2 j_1 j_2}|^2 = 1$ が保証される。
