量子回路による機械学習 (2)

次に $n$ 量子ビットの状態 $\ket{j_1} \otimes \ket{j_2} \otimes \cdots \otimes \ket{j_n} = \ket{j_1 \cdots j_n}$ の $a$ 番目の量子ビットに作用するユニタリゲート $U_a$ を考える。1 量子ビットの場合と似たような記法になるが、

$$
\begin{align*}
U_a \ket{j_1 \cdots j_n} &= U_a (\ket{j_1} \otimes \cdots \otimes \ket{j_a} \otimes \cdots \otimes \ket{j_n}) \\
&= \ket{j_1} \otimes \cdots \otimes U_a \ket{j_a} \otimes \cdots \otimes \ket{j_n} \\
&= \ket{j_1} \otimes \cdots \otimes (\sum_{k=0}^1 u_{k j_a} \ket{k}) \otimes \cdots \otimes \ket{j_n} \\
& = \sum_{k=0}^1 u_{k j_a} \ket{j_1} \otimes \cdots \otimes \ket{k} \otimes \cdots \otimes \ket{j_n} = \sum_{k=0}^1 u_{k j_a} \ket{j_1 \cdots k \cdots j_n}
\end{align*}
$$

と書ける。
同様に $a$, $b$ 番目の量子ビットに作用するユニタリゲート $U_{a,b}$ については、

$$
\begin{align*}
U_{a,b} \ket{j_1 \cdots j_n} = \sum_{k=0}^1 u_{k_1 k_2 j_a j_b} \ket{j_1 \cdots k_1 \cdots k_2 \cdots j_n}
\end{align*}
$$

と書ける。

テンソルネットワークの進展 - 株式会社サイエンス社 株式会社新世社 株式会社数理工学社 p.56 に

適当な 1 量子ビットゲートと 2 量子ビットゲートを作用させられれば、任意の量子計算を行えることが知られてる。

とあるが、これはニールセン&チャン II p.17 の

これに対して量子回路では、1 および 2 - q ビットの可逆ゲートで Toffoli ゲートを実現することができ、したがって結局普遍的計算ができることが証明される。

が該当するのであろうか。