2次ベジェ曲線と放物線

$P_0=(-1,1)$, $P_1=(0,0)$, $P_2=(1,1)$ で構成される2次ベジェ曲線が放物線になることを見る。
\begin{align}
S(t) = (x(t),y(t)) = (1-t)^2 P_0 + 2(1-t)t P_1 + t^2 P_2 = (-1+2t,1-2t+2t^2)
\end{align}

を曲線とすると、これは $y$ 軸について対象であり、 $S(1/2) = 1/2$ にて $y$ 軸方向に最小値をとる。
放物線になるとした場合、対称性から焦点の座標を $(0,1/2+p)$ 、準線を $y = 1/2-p$ として $p$ の値を求める。
$(x,y)$ から焦点への距離と $(x,y)$ から準線への距離が等しいとすると
\begin{align}
(-1+2t)^2 + \left(1-2t+2t^2-\frac{1}{2} -p\right)^2 = \left(1-2t+2t^2 - \left(\frac{1}{2} - p\right)\right)^2
\end{align}

となるが、これは $p=1/2$ で恒等的に成立する。よって、 $S(t)$ は焦点を $(0,1)$ 、準線を $y=0$ とする放物線 $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}$ であることが分かる。

もうちょっと一般的な場合にはもうちょっと計算が面倒臭くなると思うし、実際そういう計算ばかり出てきて面倒臭いのでBézier curve - Wikipediaに何か書いてあるというリンクで満足することにする。