3 次元 Laplace 作用素 $\Delta = \sum_{i=1}^3 \frac{\del^2}{\del (x^i)^2}$ を極座標 $(r, \theta, \phi)$ に変換すると
\begin{align}
\begin{split}
\Delta &= \frac{\del^2}{\del r^2} + \frac{2}{r}\frac{\del}{\del r} + \frac{1}{r^2} \Lambda \\
\Lambda &= \frac{1}{\sin \theta} \frac{\del }{\del \theta} \left( \sin \theta \frac{\del}{\del \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\del^2}{\del \phi^2}
\end{split}
\tag{1}
\end{align}
と書ける。よく $\Lambda$ を 2 次元単位球面 $S^2$ 上の Laplace-Beltrami 作用素と呼ぶように思う。これに対し、$\R^3$ の開集合 $U$ と $V$ の間の微分同相 $U \ni x \to y \in V$ が与えられた時に得られる Laplace 作用素の変数変換 (Laplace-Beltrami 作用素)
\begin{align}
\Delta_g = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i,j=1}^3 \frac{\del}{\del y^i} \left(g^{ij} \sqrt{g} \frac{\del}{\del y^j} \right)
\tag{2}
\end{align}
との関係を見たい。ここで $g_{ij} = \left\langle \frac{\del x}{\del y^i}, \frac{\del x}{\del y^j} \right\rangle$, $g = \det (g_{ij})$, $(g^{ij}) = (g_{ij})^{-1}$ とする。
$x= (r \sin \theta \cos \phi, r \sin \theta \sin \phi, r \cos \theta) \to (r, \theta, \phi) = y$ とすると
\begin{align}
\frac{\del x^1}{\del y^1} &= \sin\theta \cos\phi, &\frac{\del x^1}{\del y^2} &= r \cos\theta \cos\phi, &\frac{\del x^1}{\del y^3} &= -r \sin\theta \sin\phi, \\
\frac{\del x^2}{\del y^1} &= \sin\theta \sin\phi, &\frac{\del x^2}{\del y^2} &= r \cos\theta \sin\phi, &\frac{\del x^2}{\del y^3} &= r \sin\theta \cos\phi, \\
\frac{\del x^3}{\del y^1} &= \cos\theta, &\frac{\del x^3}{\del y^2} &= -r \sin\theta, &\frac{\del x^3}{\del y^3} &= 0
\end{align}
であるので、
\begin{align}
(g_{ij}) = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & r^2 & 0 \\
0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta
\end{array}
\right)
\end{align}
\begin{align}
(g^{ij}) = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{r^2} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}
\end{array}
\right)
\end{align}
\begin{align}
g = r^4 \sin^2 \theta
\end{align}
となる。これを式 (2) に代入すると、
\begin{align}
\Delta_g &= \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i,j=1}^3 \frac{\del}{\del y^j} \left(g^{ij} \sqrt{g} \frac{\del}{\del y^i} \right) \\
& = \frac{1}{r^2 \sin \theta} \left[ \frac{\del}{\del r} \left( r^2 \sin \theta \frac{\del}{\del r} \right) + \frac{\del}{\del \theta}\left( \sin \theta \frac{\del}{\del \theta} \right) + \frac{\del}{\del \phi} \left( \frac{1}{\sin \theta} \frac{\del}{\del \phi} \right) \right] \\
&= \frac{\del^2}{\del r^2} + \frac{2}{r}\frac{\del}{\del r} + \frac{1}{r^2} \left( \frac{1}{\sin \theta} \frac{\del }{\del \theta} \left( \sin \theta \frac{\del}{\del \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\del^2}{\del \phi^2} \right) \\
&= \frac{\del^2}{\del r^2} + \frac{2}{r}\frac{\del}{\del r} + \frac{1}{r^2} \Lambda
\end{align}
となって式 (1) が得られた。
