B-スプラインとベジェ曲線

B-スプライン曲線 - Wikipediaを一応検証してみる。
2次のB-スプライン曲線が設定の条件下で2次のベジェ曲線に一致することを見る。
$n=2,\ m=6$ とするが、この6個のノットについて
\begin{align}
0 = t_0 = t_1 = t_2 < t_3 = t_4 = t_5 = 1
\end{align}

という設定を置く。後はただ計算するだけで、 $0 \le t < 1$ で
\begin{align}
b_{0,0}(t) &= 0, \\
b_{1,0}(t) &= 0, \\
b_{2,0}(t) &= 1, \\
b_{3,0}(t) &= 0, \\
b_{4,0}(t) &= 0
\end{align}

であって、このことから
\begin{align}
b_{0,1}(t) &= 0, \\
b_{1,1}(t) &= 1-t, \\
b_{2,1}(t) &= t, \\
b_{3,1}(t) &= 0
\end{align}

が得られ、よって
\begin{align}
b_{0,2}(t) &= (1-t)^2, \\
b_{1,2}(t) &= 2(1-t)t, \\
b_{2,2}(t) &= t^2
\end{align}

が得られる。故に設定の条件下では2次のB-スプライン曲線は
\begin{align}
S(t) = \sum_{i=0}^{3} P_i b_{i,2}(t) = (1-t)^2 P_0 + 2(1-t)t P_1 + t^2 P_2, \quad 0 \le t < 1
\end{align}

となるが、これは2次のベジェ曲線である。