コントロールポイント$Q_0,\ Q_1,\ Q_2$からなる2次Bézier曲線は実は厳密に、ある3次Bézier曲線として実現できる。その3次Bézier曲線はコントロールポイント$P_0,\ P_1,\ P_2, P_3$からなるとして、パラメータを$t$として、素朴に以下の等式を考える。
\begin{equation}
(1-t)^2 Q_0 + 2t(1-t) Q_1 + t^2 Q_2 = (1-t)^3 P_0 + 3t(1-t)^2 P_1 + 3t^2(1-t) P_2 + t^3 P_3
\end{equation}
これを$t$について整理して以下を得る。
\begin{align}
Q_0 &+ (-2 Q_0 + 2 Q_1)t + (Q_0 -2 Q_1 + Q_2)t^2 \\\
&= P_0 + (-3 P_0 + 3 P_1)t + (3 P_0 -6 P_1 + 3 P_2)t^2 + (-P_0 + 3 P_1 - 3 P_2 + P_3)t^3
\end{align}
係数を比較して、
\begin{align}
P_0 &= Q_0,\ \ P_1 = \frac{Q_0 + 2 Q_1}{3} = Q_0 + \frac{2}{3}(Q_1 - Q_0), \\\
P_2 &= \frac{2 Q_1 + Q_2}{3} = Q_2 + \frac{2}{3}(Q_1 - Q_2),\ \ P3 = Q2
\end{align}
を得る。或は最初の等式で$t=0,\ 1$を代入し、更に微分して$t=0,\ 1$を代入しとやったら早いかもしれない。多くの項が消えて欲しい式がぽこぽこ得られるはずだ。
これらを元に絵を描くと以下のようになる。
オレンジのハンドルが2次曲線のものであり、ブルーのハンドルが3次曲線のものである。
この同一視を利用すると、2次曲線の性質が3次曲線の性質から色々導けることになる。
