圏論(15) - らんだむな記憶では、「本当に重要なのは arrowsだ！」というスローガンについて触れた。Awodey本はこれについて Mac Lane本を参照せよといった感じのことを書いているが、折角図書館で借りたので読んでみたい。
これは、圏論(1) - らんだむな記憶で述べた category の定義と同値な定義を arrows だけで定式化するというものである。
その前にまず、identity arrow が唯一であることを見ておこう。
$C \in \mathbf{C}$ に対して、identity arrow $1_C,\ 1_C^\prime$ がとれたとする。この時、単位則により、 $1_C \circ 1_C^\prime = 1_C = 1_C^\prime \circ 1_C$ でもあるし、 $1_C^\prime \circ 1_C = 1_C^\prime$ でもある。よって、 $1_C = 1_C^\prime$ を得る。
このことから、object とその上の identity arrow が密接に絡む。というか、object を identity arrow の概念に吸収させて、category を arrows のみで定式化する道が開ける。
さて、残りは後日にしよう ... to be written.
