前回のハミルトニアンの $Z$ ゲートでの計算を確認してみよう。まず、前回導入した略記法を用いると
- $III = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]$
- $IIZ = [1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1]$
- $IIZ = [1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1]$
- $IIZ = [1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1]$
である。よって、8 次正方行列の普通の行列の積を計算して
$$
\begin{align*}
\frac{III - IIZ}{2} \frac{III - IZI}{2} = [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1]
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\frac{III - IZI}{2} \frac{III - ZII}{2} = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1]
\end{align*}
$$
を得る。準備ができたので、これらを使って前回の (2) 式を計算すると
$$
\begin{array}{ccccccccccccc}
H & = & 2 & [ & 0, & 0, & 1, & 1, & 0, & 0, & 1, & 1 & ] \\
& & - & [ & 0, & 0, & 0, & 0, & 1, & 1, & 1, & 1 & ] \\
& & -4 & [ & 0, & 0, & 0, & 1, & 0, & 0, & 0, & 1 & ] \\
& & 3 & [ & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 0, & 1, & 1 & ] \\
& = & & [ & 0, & 0, & 2, & -2, & -1, & -1, & 4, & 0 & ]
\end{array}
$$
となって、前回の (1) 式と一致する。
よって、損失関数
$$
\begin{align*}
C(x) = \sum_{Q \subset [3]} w_Q \prod_{i \in Q} x_i
\end{align*}
$$
から定まるハミルトニアンは $Z$ ゲートを用いて
$$
\begin{align*}
H = \sum_{Q \subset [3]} w_Q \frac{1}{2^{|Q|}} \prod_{i \in Q} (1 - Z_i)
\end{align*}
$$
と書けることが（なんとなく）分かった。ここで $|Q|$ は集合を要素に持つ集合 $Q$ の長さである。
