More Circuit Identities
ぼんやり眺めるとこれは要するに X ゲートとユニタリ同値なゲートを制御ゲート化する時には CX ゲートをユニタリゲートで囲めば良いという話だということが分かる。つまり、あるユニタリゲート $U$ があるとして、これが $X$ ゲートとユニタリ同値であり、$U = V^\dagger X V$ と書けているとする。この時、制御ゲート $CU$ は $V^\dagger CX V$ として実装できる、というだけである。或いは、2 量子ビットのケースでは $CX = \ket{0}\bra{0} \otimes I + \ket{1}\bra{1} \otimes X$ に倣って $CU = \ket{0}\bra{0} \otimes I + \ket{1}\bra{1} \otimes V^\dagger X V$ と書いても分かりやすいかもしれない。
textbook の例では、アダマールゲート $H$ で挟んでいたりするが、Pauli 行列の性質より $H^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}}(X+Z))^2 = \frac{1}{2} (I + [X, Z] + I) = I$ であることから $H = H^{-1} = H^\dagger$ である。このため一見分かりにくいが、$S$ ゲートや $R_y(\frac{\pi}{4})$ の例を見るとユニタリ行列とその共役行列で挟んでいることが明確になる。
