ニールセン&チャン III p.245 コラム 12.1 の非クローン化定理を見てみよう。内容をざっと見るとなるほどという気持ちになるが、一方で、量子テレポーテーションを含めてなんとなく情報がコピーされているように感じてしまう部分もある。この「非クローン化定理」に対してその素朴な感覚を掘り下げたい。
未知の純粋量子状態 $\ket{\psi}$ と標準純粋状態 $\ket{s}$ を用意し、そのテンソル積 $\ket{\psi} \otimes \ket{s}$ を考えるところから始まる。標準純粋状態というものが正確には分からないが、Bloch 球の表面に位置する状態とか $\ket{0}, \ket{1}, \ket{+}, \ket{-}$ とかだと思っておく。定理の主張は $\ket{\psi}$ を任意にとる時に以下が成立するようなユニタリ操作 $U$ は存在しないという内容である:
$$
\begin{align*}
\ket{\psi} \otimes \ket{s} \xrightarrow{U} \ket{\psi} \otimes \ket{\psi}
\end{align*}
$$
ところで、$\ket{\psi} = \alpha \ket{0} + \beta \ket{1}$ の重ね合わせ、$\ket{s} = \ket{0}$ とし、$U = CNOT_{1,2}$ の時を考えてみよう:
$$
\begin{align*}
CNOT_{1,2} (\alpha \ket{0} + \beta \ket{1}) \otimes \ket{0} &= \alpha CNOT_{1,2} \ket{0} \otimes \ket{0} + \beta CNOT_{1,2} \ket{1} \otimes \ket{0} \\
&= \alpha \ket{0} \otimes \ket{0} + \beta \ket{1} \otimes \ket{1}
\end{align*}
$$
となる。よって、一般には $(\alpha \ket{0} + \beta \ket{1}) \otimes (\alpha \ket{0} + \beta \ket{1})$ とはならない。一方、$\alpha = 1$ の時は $U \ket{0} \otimes \ket{0} = \ket{0} \otimes \ket{0}$ で、$\beta = 1$ の時は $U \ket{1} \otimes \ket{0} = \ket{1} \otimes \ket{1}$ でとりあえずコピーされているように見えなくもない。
では、上記を踏まえて定理の証明を眺めてみよう。
特定の純粋状態 $\ket{\psi}, \ket{\varphi}$ があるとする。この時、状態をコピーするユニタリ操作 $U$ が存在するとすると、
$$
\begin{align*}
U (\ket{\psi} \otimes \ket{s}) &= \ket{\psi} \otimes \ket{\psi} \\
U (\ket{\varphi} \otimes \ket{s}) &= \ket{\varphi} \otimes \ket{\varphi}
\end{align*}
$$
となるが、ここから $\ket{\psi} = \ket{\psi}$ 或いは $\braket{\psi | \varphi} = 0$ が求まる。このことから、仮に一部の状態（例えば $\ket{0}$ や $\ket{1}$）をクローンできるような $U$ が存在しても、この $U$ は$\ket{\psi} = \ket{0}$ と $\ket{\varphi} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} + \ket{1})$ を同時には複製できないことになる。
$CNOT$ の例に戻ると、任意の状態は複製できないが、特定の状態であれば複製できることもあった。つまり、非クローン化定理が述べているのは、すべての純粋状態を複製できるような単一のユニタリ操作は存在しないことであって、任意のユニタリ操作について、どんな純粋状態をとっても複製できないことを述べているわけではない。例えば既に見たように $CNOT$ ゲートで複製できる状態も存在した。この辺は、$\exists U \forall \ket{\psi}$ は否定されるが、$\forall U \exists \ket{\psi}$ については何も述べていないことに注意したい。
