公理論的集合論もどき - らんだむな記憶で軽いひっかかりを覚えたが、「じゃぁ、具体的な集合は？」というのがあって。
「無限集合公理」にいうような集合 $x$ をとると、これは $\varnothing \in x$ を満たすので、 $\varnothing \cup \{ \varnothing \},\ \varnothing \cup \{ \varnothing \} \cup \{ \varnothing \cup \{ \varnothing \} \},\ \varnothing \cup \{ \varnothing \} \cup \{ \varnothing \cup \{ \varnothing \} \} \cup \{ \varnothing \cup \{ \varnothing \} \cup \{ \varnothing \cup \{ \varnothing \} \} \}, \cdots$ はすべて集合であって、 $x$ に含まれる。
従って、
- $\mathbf{1} := \varnothing \cup \{ \varnothing \}$
- $\mathbf{2} := \varnothing \cup \{ \varnothing \} \cup \{ \varnothing \cup \{ \varnothing \} \}$
- $\mathbf{3} := \varnothing \cup \{ \varnothing \} \cup \{ \varnothing \cup \{ \varnothing \} \} \cup \{ \varnothing \cup \{ \varnothing \} \cup \{ \varnothing \cup \{ \varnothing \} \} \}$
- ...
と名前をつけることで、 $\mathbf{1},\ \mathbf{2},\ \mathbf{3},\ \cdots \in x$ として自然数を得る。
この時、 $\{ \mathbf{1},\ \mathbf{2},\ \mathbf{3},\ \cdots \} \subset \mathcal{P}(x)$ なので自然数全体の集合を得るっちゅー感じで良いのかな？
