あまり触れたくない汚い感じだったけど、メモったほうが良さそうなので。
自由度$\nu > 0$のt分布の確率密度函数は次の式で与えられる。
\begin{equation}
f_\nu (t) = \frac{\Gamma(\frac{\nu + 1}{2})}{\sqrt{\nu \pi}\, \Gamma(\frac{\nu}{2})} \left(1 + \frac{t^2}{\nu} \right)^{-\frac{\nu + 1}{2}}
\end{equation}
\begin{equation}
B(x,y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}
\end{equation}
に注意し、$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$を考慮すると、$B\left(\frac{1}{2},\frac{\nu}{2}\right) = \sqrt{\pi}\frac{\Gamma(\frac{\nu}{2})}{\Gamma(\frac{\nu + 1}{2})}$となるので、
\begin{equation}
f_\nu (t) = \frac{1}{\sqrt{\nu}\, B\left(\frac{1}{2},\frac{\nu}{2}\right)} \left(1 + \frac{t^2}{\nu} \right)^{-\frac{\nu + 1}{2}}
\end{equation}
とも書ける。統計学入門 (基礎統計学) | 東京大学教養学部統計学教室 | 本 | Amazon.co.jpのp.281の付表2ではこちらのスタイルだ。
なお、細々したところはwikipediaをパクった。
この確率密度函数を用いて、
\begin{equation}
\int_{-\infty}^x f_\nu (t) dt
\end{equation}
を計算したい場合がある。これはoctaveでは
tcdf(x,n)
で計算できる。例えば、自由度35のt分布で$(-\infty,2.183]$の積分値が知りたい場合、
octave:1> tcdf(2.183, 35) ans = 0.98208
と求まる。以前のoctaveでは t_cdf(x, n) というようにアンダースコアが入っていたようだが、いつ変更されたのだろう？
