ベクトル解析30講 (数学30講シリーズ)の第16講に全部書いてあると言えばそれまでだが、Greenの公式を使って曲線で囲まれた領域の面積を求めることができる。
正直Greenの公式を導く力量などないが、覚えやすくてとても便利なので、結果だけをふわぁ～っと覚えている。
Greenの公式なんちゃって版
適当な領域$D$とその境界$\partial D$と、微分形式$\omega$に対して、
\begin{equation}
\int_{D}d\omega = \int_{\partial D} \omega
\end{equation}
が成立する。${}_{\square}$
これ以上は覚えていない。$D$を2次元平面内の領域とすると$\partial D$はその領域の輪郭の曲線になる。1次微分形式$\omega = f(x,y)dx + g(x,y)dy$を考えると、外積代数的な計算をして、
\begin{align}
d\omega &= df \land dx + dg \land dy \\\
&=\left(\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy\right) \land dx + \left(\frac{\partial g}{\partial x}dx + \frac{\partial g}{\partial y}dy\right) \land dy \\\
&= \left(\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}\right) dx \land dy
\end{align}
となるので、Greenの公式より、
\begin{equation}
\int_{D} \left(\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}\right) dx \land dy = \oint_{\partial D} f(x,y)dx + g(x,y)dy
\end{equation}
となるよっと。電磁気学で出てくるStokesの定理を$xy$平面に制限した形ですな。
次に、$f(x,y) = y,\ g(x,y) = 0$と$f(x,y) = 0,\ g(x,y) = x$の場合で具体的に求めて、がっちゃんこすると、
\begin{equation}
\int_{D}dx \land dy = \frac{1}{2}\oint_{\partial D}xdy - ydx
\end{equation}
という形になって、面積の公式ができましたよ！と。
実はあまり興味がないので、結構こんな雑な覚え方と使い方しかしていない...。
