$H_2 \mathrm{CNOT}_{1,2} H_2$ を計算したい。$X = \ket{0}\bra{1} + \ket{1}\bra{0}$, $Z = \ket{0}\bra{0} - \ket{1}\bra{1}$, $H = \frac{1}{\sqrt{2}}(X+Z)$, $\mathrm{CNOT} = \ket{0}\bra{0} \otimes I + \ket{1}\bra{1} \otimes X$ からうまく計算できるだろうか？
\begin{align*}
\mathrm{CNOT}(\ket{\psi} \otimes H\ket{\phi}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}\braket{0 | \psi} \otimes H\ket{\phi} + \ket{1}\braket{1 | \psi}\otimes XH\ket{\phi})
\end{align*}
であるので、
\begin{align*}
H_2 \mathrm{CNOT}(\ket{\psi} \otimes H\ket{\phi}) &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}\braket{0 | \psi} \otimes H^2\ket{\phi} + \ket{1}\braket{1 | \psi}\otimes HXH\ket{\phi}) \\
& = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}\braket{0 | \psi} \otimes \ket{\phi} + \ket{1}\braket{1 | \psi}\otimes HXH\ket{\phi})
\tag{1}
\end{align*}
となる。反交換子 $XZ + ZX = 0$ に注意すると
\begin{align*}
(X + Z)X(X + Z) &= (X + Z)(I - ZX) \\
&= X - XZX + Z - X \\
&= - XZX + Z = ZXX + Z = 2Z
\end{align*}
であるので、$HXH = Z$ である。よって、(1) 式に代入すると
\begin{align*}
H_2 \mathrm{CNOT}(\ket{\psi} \otimes H\ket{\phi}) & = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}\braket{0 | \psi} \otimes \ket{\phi} + \ket{1}\braket{1 | \psi}\otimes Z\ket{\phi}) \\
&= (\ket{0}\bra{0} \otimes I + \ket{1}\bra{1} \otimes Z)(\ket{\psi} \otimes \ket{\phi})
\end{align*}
を得る。故に、$H_2 \mathrm{CNOT}_{1,2} H_2 = \ket{0}\bra{0} \otimes I + \ket{1}\bra{1} \otimes Z = CZ$ が分かった。これが書籍 pp.88-89 における $CZ$ ゲートの分解ということになる。
